NINH BÌNH, HDC CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2014

UBND TỈNH NINH BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
THAM DỰ KÌ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2014
Môn: TOÁN
Ngày thi: 31/10/2014
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)


I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm.
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Đáp án
Điểm

1
(4đ)
Đặt x = ab + bc + ca ( x ( 5
+
( P ≤ 0
0,5


+ 0 < x ( 5, ta có:


1




1




Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2
.
1


Đẳng thức xảy ra
.
Vậy max P = 4 khi
.
0,5

2
(4đ)
f(xf(y))f(y) = f(x + y),
(1)
+ Nếu tồn tại y > 0 sao cho f(y) > 1 thì thay
vào (1) ta có

( Mâu thuẫn).
Vậy 0 < f(y) ( 1
.
0,5


Từ (1) suy ra f(x + y)( f(y)
( f(x) không tăng trên
.
0,5


+ Nếu tồn tại a > 0 sao cho f(a) = 1 thì từ (1) suy ra
f(x) = f(x + a)

( f(x) = f(x + na)
, n (
.
Với mọi y > 0 luôn tồn tại n (
sao cho y < na, khi đó
f(x) ( f(x+y) ( f(x + na) ( f(x) = f(x + y)
.
Vậy f(x) = 1
.
1,0


+ Nếu 0 < f(x) < 1
thì ta có f(x + y) < f(y)
( f(x) nghịch biến trên
.
0,5


Thay y = 1 vào (1) ta được : f(x + 1) = f(xf(1))f(1) = f(xa)f(1)
(đặt a = f(1)).
Mặt khác: f(x + 1) = f((x(1 - a) + 1) + xa ) =f(f(xa)(x(1 - a) + 1))f(xa)
.
( f(1) = f(f(xa)(x(1 - a) + 1))
.
( 1 = f(xa)(x(1 - a) + 1)
(vì f nghịch biến nên là đơn ánh) ( f(xa) =

.


.
1,0


Thử lại ta thấy: f(x) = 1 hoặc

thỏa mãn (1).
Vậy f(x) = 1 hoặc

.
0,5

3
(4đ)

Trước hết ta tách thành hai nhóm bất kì và kí hiệu d1, d2 lần lượt là tổng số các mâu thuẫn giữa các thành viên trong nhóm thứ nhất và nhóm thứ hai. Kí hiệu d = d1 + d2.
Giả sử thành viên A có ít nhất hai người bất đồng chính kiến trong nhóm thứ nhất (khi cách chia không thỏa mãn yêu cầu bài toán). Khi đó A sẽ có nhiều nhất 1 người bất đồng chính kiến trong nhóm thứ hai (theo giả thiết). Vậy ta chuyển A sang nhóm thứ hai thì A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó d1 giảm ít nhất là 2 và d2 tăng nhiều nhất là 1 và do đó d giảm ít nhất là 1.
Tương tự như thế nếu A thuộc nhóm thứ hai và không thỏa mãn ycbt.
Vậy sau một số hữu hạn bước, phép biến đối dừng lại, có nghĩa là có thể chia nhóm ban đầu thành hai nhóm nhỏ mà mỗi thành viên trong từng nhóm chỉ có nhiều nhất một người bất đồng chính kiến với mình trong nhóm đó.
4,0

4
(3đ