NINH BÌNH, HDC CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 2014-2015

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2014 – 2015
MÔN: TOÁN
Ngày thi 07/10/2014
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)


Câu
Nội dung
Điểm

1
(5,0 điểm)
Theo bất đẳng thức AM - GM ta có


Dấu bằng xảy ra
.
1,0


Từ đó kết hợp với điều kiện
.
0,5


Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng

(2).
1,0


Xét hàm số
trên khoảng


.
Suy hàm số f nghịch biến trên
.
1,0


Ta có (2) có dạng

(3).
0,5


Từ (1) và (3)
. Vậy nghiệm của hệ phương trình là

1,0






2
(5,0 điểm)
a) (2,0 điểm)


Xác định công thức tổng quát
.
1,0




1,0


b) (3,0 điểm)



. Giả sử
,
lẻ.
Khi đó 

Do
lẻ

lẻ.
1,0


Mặt khác

Ta có
và



1,0


Do đó

Vậy
thoả mãn yêu cầu bài toán.
1,0

3
(6,0 điểm)





a) (2,0 điểm)


(KA, KD) = (KA, KI) + (KI, KD) = (BA, BI) + (CI, CD) = 2(BA, BD) = (OA, OD) (mod
)
A, D, K, O cùng thuộc một đường tròn.
1,0


Tương tự B, C, K, O cùng thuộc một đường tròn.
0,5


Vì
nên
thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác
và

thẳng hàng.
0,5


b) (4,0 điểm)


Vì
nên
thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác
và

thẳng hàng.
0,5


(KI, KO) = (KI, KA) + (KA, KO) = (BI, BA) + (DA, DO)
= (OD,OM) + (DA, DO) = (DA, OM) =
(mod
)
1,0



.
0,5


Ta có (HE, HF) = (HE, EC) + (EC, CF) + (CF, FH)


0,5


Mà







1,0






E, F, H, K thuộc một đường tròn.

0,5

4
(4,0 điểm)

(1)
Trong (1) cho
, ta được

(2)
1,0


Trừ (1) cho (2) ta có



1,0


+ Nếu không tồn tại
để
thì



(3).
0,5


Thay (3) vào (1) ta được


hoặc

0,5


+ Nếu tồn tại
sao cho
thì



(4)
0,5


Thay (4) vào (1) được

Vậy là các hàm thỏa mãn đề bài là

0,5


------ Hết ------

Chú ý
Điểm bài thi không làm tròn.
Học sinh có cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.