Nghịch lí grand Hotel của Hilbert

Nghịch lý GRAND HOTEL của HILBERT
Đây là câu chuyện nhằm minh họa cho “Nghịch lý GRAND HOTEL của HILBERT” trong lí‎ thuyết tập hợp ; Người biên soan chỉnh lí, bổ sung để các bạn tham khảo; coi như cuộc thư giãn cuối tuần và chờ đon Euro 2012.
 I.- Chuyện của nhà kinh doanh khách sạn (Hotell)
* Một năm trước khi nước ông được nhận đăng cai EURO-CUB 2012, nhà kinh doanh khách sạn nằm mơ, được nhà toán học nổi tiếng người Đức tên là Hilbert mách bảo bí quyết kinh doanh bằng cách xây khách sạn để kiếm lời. Trong giấc mơ, nhà kinh doanh nghe được “ bí kíp” ấy thấy hay quá nên đã thuê người xây một khách sạn gồm các phòng đơn, được đánh số bởi 1,2,3,...., n,... Sau đó ông chủ khách sạn mạnh dạn đăng trên mạng internet và poster lớn quảng cáo rằng: Khách sạn HILBERRT luôn luôn thoả mãn nhu cầu cho những ai cần chỗ ở. ( Để giật gân, ông còn lấy tên khách sạn là “GRAND HOTEL OF HILBERT”
 Ngày trước khai mạc Eurocub, có một vị khách đường xa đến quầy lễ tân thuê phòng. Cô lễ tân nhìn vào sổ theo dõi thấy tất cả các phòng đều có người ở nên quay ra vị khách:
 - Xin lỗi, ông cảm phiền đi nơi khác, khách sạn nay đã hết chỗ rồi.
 - Các người làm ăn thế nào vậy? Ngoài bảng thì ghi rằng luôn đáp ứng đầy đủ chỗ ở cho ai có nhu cầu, bâygiờ thì từ chối... Vị khách hét tướng lên.
 Nghe tiếng ồn ào, Chủ khách sạn chạy ra. Sau khi biết được câu chuyện, ông quay qua nói với khách:
 - Xin lỗi ông, do nhân viên chưa quen việc, sẽ có phòng ngay cho ông thôi mà.
 Nói xong, ông chủ liền ra lệnh cho nhân viên lễ tân tức tốc đến các phòng, làm các động tác như sau: yêu cầu vị khách đang ở phòng số 1 chuyển ngay sang phòng số 2, khách phòng số 2 thì chuyển sang phòng thứ ba,... nói chung khách đang ở phòng số thứ n thì chuyển sang phòng số thứ n+1,... Sau mấy phút sắp đặt, ông chủ ân cần mời vị khách mới đến vào phòng số 1 và thế là mọi chuyện tạm ổn.
 Tất nhiên dù bị đánh động và phải chuyển đồ đạc nhưng rồi mọi khách ai cũng có chỗ ở. Vì do số phòng nhiều vô hạn nên người đang ở phòng số n thì chỉ việc chuyển sang phòng mới số n+1. Ông chủ KS đang đắc chí thì bỗng nhiên giật mình thức dậy.
** Hoá ra nhà kinh doanh khách sạn đẫ nằm mơ, vì chuyện xây dựng khách sạn vô hạn phòng chỉ là lý thuyết, không tưởng. Tuy nhiên, nhà kinh doanh khách sạn do già dặn trong cuộc đời, thấy mọi chuyện đều tương đối, ngay cả cuộc sống con người là hữu hạn. Ông suy nghĩ và ngộ ra rằng vô hạn trong cuộc đời thật ra là hữu hạn nhưng ở một mức độ "đủ lớn" nào đó là được.
Với suy nghĩ như vậy, nhà kinh doanh khách sạn khai thác ý niệm vô hạn và xây một khách sạn " GRAND HOTEL OF HILBERT vô hạn" phòng như sau:
 Ông thuê người xây 1 khách sạn có 6.000 phòng (khách sạn với số phòng chừng này thì không phải hiếm, đặc biệt các khách sạn phục vụ cho Euro cub). Tiếp đó ông quảng cáo rùm beng. Cũng như trên, khi khách đã đầy khach mà vẫn còn có người đến, ông giao cho tay quản lý khách sạn làm như trong mơ, nghĩa là lôi ông khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2,....Do tác phong lề mề, mỗi lần chuyển người từ phòng này sang phòng kia mất 10 phút, tính ra đến phòng cuối cùng là mất hết thảy 60.000 phút tức là 1000 giờ = hơn 41 ngày. Trong vòng 41 ngày ấy thông thường thế nào cũng có khách hết tiền nên phải trả phòng lại. Nếu không hên lắm thì mãi đến phòng cuối, nhét người khách phòng số 6000 vào phòng đã trả ấy. (Đó là một mánh chiến lược kinh doanh mạo hiểm! Tuy giữ được lời hứa là thoả mãn chỗ ở cho mọi người nhưng vị khách nào đã ở một lần thì tởn đến già, lần sau chắc là không dám ghé lại vì sẽ bị chuyển chỗ không biết lúc nào.)





II.- Ý nghĩa toán học
 Câu chuyện trên cho thấy đặc trưng của tập hợp vô hạn: Nếu thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập hợp vô hạn A thì lực lượng của A không thay đổi. Ngoài ra ta thấy rằng, trong thực tế không có cái gì là vô hạn cả theo ý nghĩa toán học. Chỉ cần số hữu hạn "đủ lớn" nào đó là có thể xem là vô hạn rồi. Vấn đề là xác định "đủ