Nghích lí B.Russell & sám hối của Frege

Nghịch lý B. Russell và sự sám hối của Frege
Bertrand Arthur William Russell (1872-1970), Bá tước Russell III, , một triết gia, nhà lôgic học, nhà toán học người Anh của thế kỷ 20; Ông là một trong những trí thức nổi tiếng của thế giới thế kỉ XX, tiếng nói của Russel mang một quyền lực đạo đức, luôn luôn khao khát tìm kiếm chân lý tuyệt đối của toán học như một con chiên ngoan đạo khao khát đức tin tôn giáo.  Ông đã từng phê phán mạnh mẽ sự can thiệp của quân đội Hoa Kỳ trong Chiến tranh Việt Nam.
Bertrand Russell
Bertrand Russell là người vốn ngưỡng mộ Frege hết lòng, coi Frege như một ngôi sao dẫn đường của toán học hình thức. Chính vì khao khát nhận biết được cái “thế giới siêu việt” ấy nên Russell đã bàng hoàng xúc động khi đọc Cơ Sở Số Học của Frege.  Nhưng ngưỡng mộ Frege bao nhiêu, ông cũng lo lắng cho Frege bấy nhiêu, vì ông cảm thấy một nghịch lý do chính ông khám phá ra trước đó có thể huỷ hoại công trình của Frege. Đó là “Nghịch Lý Russell” (Russell’s Paradoxe), một nghịch lý đã đi vào lịch sử toán học như một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất! 
Gottlob Frege
  I/Nghịch lý Russell: 
      Russell chia tập hợp thành hai loại:
      1* Tập thông thường (ordinary set), là tập hợp sao cho nó không phải là phần tử của chính nó (nó không thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường, vì tập hợp ấy không thể là một chiếc xe máy.

Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường   
      2* Tập lạ thường (extraordinary set), là tập hợp sao cho nó là phần tử của chính nó (nó thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp của tất cả những gì không phải là chiếc xe máy. Dễ thấy tập hợp này là một phần tử của chính nó, vì tập hợp này không phải là một chiếc xe máy.
      Có rất nhiều tập thông thường khác nhau cũng như có rất nhiều tập lạ thường khác nhau. Russell đề nghị xét một tập hợp đặc biệt, đó là Tập hợp của tất cả các tập thông thường. Ngay lập tức, cái đầu logic sắc sảo của Russell dẫn ông tới một câu hỏi lạ lùng nhưng lý thú:
      Tập hợp của tất cả các tập thông thường là một tập thông thường hay lạ thường?
      Câu hỏi trên dài quá, có thể làm mệt một số độc giả. Vậy xin rút gọn bằng cách gọi tập hợp của tất cả các tập thông thường là Tập Russell.
      Khi đó, câu hỏi của Russell sẽ là:
      Tập Russell là một tập thông thường hay lạ thường?
      Giả sử Tập Russell là tập thông thường, lập tức suy ra nó là một phần tử của chính nó (vì Tập Russell chứa tất cả các tập thông thường). Nhưng nếu nó là một phần tử của chính nó thì nó phải là tập lạ thường, vậy Tập Russell là tập lạ thường, mâu thuẫn với giả thiết!
      Giả sử ngược lại cũng dẫn tới mâu thuẫn. Tóm lại:
Nếu Tập Russell là tập thông thường thì nó sẽ là tập lạ thường.
Nếu Tập Russell là tập lạ thường thì nó sẽ là tập thông thường.
      Đó chính là Nghịch lý Russell, được trình bầy dưới dạng ký hiệu như trong minh hoạ sau:


Hình bên trái: Một cái hộp chứa chính nó - một sản phẩm phi thực tế. Hình bên phải: Một tập hợp chứa chính nó - một sản phẩm của logic hình thức thuần tuý.
Logic hình thức thừa nhận một khái niệm phi hiện thực – nguồn gốc của mâu thuẫn nghịch lý 
      “Thủ phạm” dẫn tới nghịch lý là Tập Russell, tức tập hợp của tất cả các tập thông thường. Đó cũng chính là “thủ phạm” gây ra BẤT ỔN ngay từ trong nền móng lý thuyết của Frege, bởi Frege đã xây dựng toà lâu đài số học của mình dựa trên khái niệm nền tảng là “tập hợp của các tập hợp”: 2 là tập hợp của các cặp đôi; 3 là tập hợp của các “bộ ba”, …
      Vốn ngưỡng mộ Frege hết lòng, Russell vội tìm cách cứu Frege. Ông viết thư thông báo cho Frege biết nghịch lý của mình, hy vọng Frege có thể sửa chữa được công trình, nhưng không ngờ lá thư ấy đã đẩy Frege xuống vực thẳm thất vọng, để cuối cùng dẫn ông tới một cuộc sám hối sâu sắc về nhận thức bản chất của toán học.    
 II/ Lá thư quyết định số phận của Frege: 
 Ngày 16-06-1902, Bertrand Russell gửi tới Frege một lá thư, trong đó có đoạn viết:
“Trong công trình của ngài, tôi tìm thấy những lý thuyết đẹp đẽ nhất trong thời đại của chúng ta mà tôi