MOT SO PPCMBDT

A. PhÇn më ®Çu

Muèn c«ng nghiÖp hãa hiÖn ®¹i hãa ®Êt n­íc th× nh©n tè kh«ng thÓ thiÕu ®ã lµ con ng­êi. Trong thêi kú ®æi míi cña ®Êt n­íc th× mét trong nh÷ng yªu cÇu cña nÒn gi¸o dôc lµ ph¶i t¹o ra nh÷ng con ng­êi lao ®éng míi, ®ã lµ nh÷ng con ng­êi linh ho¹t, s¸ng t¹o, biÕt kh¾c phôc khã kh¨n, hä s½n sµng tiÕp nhËn c¸i míi, nh÷ng tinh hoa tri thøc khoa häc cña nh©n lo¹i, ¸p dông mét c¸ch khoa häc vµo thùc tiÔn ®Êt n­íc. VËy lµm thÕ nµo ®Ó ph¸t huy ®­îc tÝnh chñ ®éng s¸ng t¹o cña häc sinh ®©y lµ mét trong nh÷ng yªu cÇu tr­íc m¾t, nh»m tËp d­ît kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cña häc sinh ngay tõ khi cßn ngåi trªn ghÕ nhµ tr­êng.
HiÖn nay s¸ch gi¸o khoa m«n To¸n míi ®­îc biªn so¹n theo h­íng ®æi míi, ph­¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay lµ: TÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, kh¬i dËy vµ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng tù häc, nh»m h×nh thµnh cho häc sinh t­ duy tÝch cùc ®éc lËp s¸ng t¹o n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò rÌn luyÖn kh¶ n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tiÔn, t¸c ®éng ®Õn t×nh c¶m, ®em l¹i niÒm vui vµ høng thó häc tËp cho häc sinh ®Æc biÖt lµ ®èi víi häc sinh n¨ng khiÕu. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc, t«i nhËn thÊy “bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc” lµ rÊt khã kh«ng chØ víi häc sinh mµ c¶ ®èi víi gi¸o viªn, nh­ng nã l¹i kÝch thøc ®­îc tÝnh s¸ng t¹o, lßng ®am mª häc tËp bé m«n, gãp phÇn x©y dùng nh©n c¸ch con ng­êi lao ®éng míi. Vµ ®Ó gióp häc sinh cã thÓ ®Þnh h­íng “ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc” mét c¸ch râ rµng h¬n, t«i ®· ph©n thµnh c¸c d¹ng bµi vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i nh­ sau:
B. néi dung

PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý
1-§inh nghÜa



2-tÝnh chÊt
+ A>B

+ A>B vµ B >C

+ A>B
A+C >B + C
+ A>B vµ C > D
A+C > B + D
+ A>B vµ C > 0
A.C > B.C
+ A>B vµ C < 0
A.C < B.C
+ 0 < A < B vµ 0 < C + A > B > 0
A
> B



+ A > B

A
> B
víi n = 2k+1 (k
N)
+
>


A
> B
víi n = 2k (k
N)
+ m > n > 0 vµ A > 1
A
>
A

+ m > n > 0 vµ 0 +A < B vµ A.B > 0


3-mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc
+ A

0 víi
A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ An
0 víi
A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+
víi
(dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ -
< A =

+
( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0)
+
( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0)
PhÇn II : mét sè ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Ph­¬ng ph¸p 1 : dïng ®Þnh nghÜa
KiÕn thøc : A ( B
A - B ( 0
L­u ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M

0 víi( M
Ph­¬ng ph¸p: §Ó chøng minh A
B theo ®Þnh nghÜa ta thùc hiÖn nh­ sau:
B­íc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B
B­íc 2: BiÕn ®æi H = (C+D)
hoÆc H = (C+D)
+....+(E+F)

B­íc 3:KÕt luËn A ( B
VÝ dô 1 ( x, y, z chøng minh r»ng :x
+ y
+ z

xy+ yz + zx
Gi¶i:
a) Ta xÐt hiÖu
( x
+ y
+ z
) - ( xy +yz + zx) =
.2 .( x
+ y
+ z
- xy - yz - zx)
=
((x
- 2xy + y
) +(x
- 2zx +z
) + (y
- 2yz +z
)) =

®óng víi mäi x;y;z

V× (x-y)2
0 víi (x;y
; (x-z)2
0 víi (x;z
; (y-z)2
0 víi ( y;z

VËy x
+ y
+ z

xy+ yz + zx ®óng víi mäi x;y;z

DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z
VÝ dô 2: chøng minh r»ng :
a)
; b)


c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n
Gi¶i:
a) Ta xÐt hiÖu
=
=

=

VËy

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b
b)Ta xÐt hiÖu

=
VËy


DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c
c)Tæng qu¸t


VÝ dô 3:
Chøng minh ( m, n, p, q ta ®Òu cã: m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1)
Gi¶i:
m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1)
m
+ n
+ p
+ q
+1- mn - mp - mq -m ( 0




(lu«n ®óng)
DÊu b»ng x¶y ra khi





Bµi tËp bæ sung:
1. Chøng minh r»ng:
a) x
+ y
+ z

2xy - 2xz + 2yz
b) x
+ y
+ z
+3
2 (x + y + z)

a)

H­íng dÉn: XÐt hiÖu:

b) Cho abc = 1 vµ
. Chøng minh r»ng
b2+c2> ab+bc+ac
H­íng dÉn: XÐt hiÖu:




>0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn a >0 )
VËy :
b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh
2. Chøng minh r»ng
a)

b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã


c)

Gi¶i :
a) XÐt hiÖu
H =

=

H
0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt:
H =


H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
c) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt:
H =


H
0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

ph­¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng
Ph­¬ng ph¸p:
Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t­¬ng ®­¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®­îc chøng minh lµ ®óng.
VÝ dô 1:
Cho a, b lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng:


Gi¶i:
a)





(bÊt ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng)
VËy
(dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b)
VÝ dô 2:
Chøng minh r»ng:

Gi¶i:








a2b2(a2-b2)(a6-b6)
0
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)
0
BÊt ®¼ng thøccuèi ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x>y. Chøng minh



Gi¶i: V× x>y
x-y>0 nªn




x2+y2

( x-y)
x2+y2-
x+
y
0
x2+y2+2-
x+
y -2
0

x2+y2+(
)2-
x+
y -2xy
0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2

(x-y-
)2
0 §iÒu nµy lu«n lu«n ®óng. VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
Bµi tËp bæ sung:
1) Chøng minh r»ng:
a)

b) Chøng minh


Ta cã :


(*) B§T (*) ®óng (x(R(®pcm.
c)

(HD:
)
2) Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng
a)


b)






3) Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng


Gi¶i :
Ta cã
(v× xy = 1)



Do ®ã B§T cÇn chøng minh t­¬ng ®­¬ng víi








B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

4) Cho xy
1 .Chøng minh r»ng:


Gi¶i :
Ta cã













B§T cuèi nµy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
5) Cho a+b>1. Chøng minh r»ng:

HD: V× a+b>1


MÆt kh¸c:

Nªn
.
MÆt kh¸c:

=>

6) Chøng minh r»ng

HD: Nh©n c¶ 2 vÕ víi 4 råi chuyÓn vÕ:



7) Chøng minh r»ng, nÕu x>0 th×

HD: Ta cã:


(2) lu«n ®óng,nªn (1) ®­îc cm
Ph­¬ng ph¸p 3: dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc
A/ mét sè bÊt ®¼ng thøc hay dïng
1) C¸c bÊt ®¼ng thøc phô:
a)

b)
dÊu( = ) khi x = y = 0
c)

d)

2) BÊt ®¼ng thøc C«si:
Víi
;

3) BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski


4) BÊt ®¼ng thøc Trª- b­-sÐp:
NÕu



NÕu



DÊu b»ng x¶y ra khi


b/ c¸c vÝ dô
VÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng:

(a+b)(b+c)(c+a)
8abc
Gi¶i:
Dïng bÊt ®¼ng thøc phô:

Tacã
;
;









(a+b)(b+c)(c+a)
8abc
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c
VÝ dô 2: Cho a>b>c>0 vµ
. Chøng minh r»ng:


Gi¶i: Do a,b,c ®èi xøng, gi¶ sö a
b
c


¸p dông B§T Trª- b­-sÐp ta cã:

=
=

VËy
DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=

VÝ dô 3:
Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1. Chøng minh r»ng :


Gi¶i:
Ta cã
;

Do abcd =1 nªn cd =

Ta cã
(dïng
) (1)
MÆt kh¸c:
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
(dïng
)(2)
Tõ (1) vµ (2), ta cã:

VÝ dô 4: Cho a, b, c>0 vµ a+b+c=1. Chøng minh r»ng

C¸ch 1: V× a, b, c>0 nªn
cã nghÜa. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho hai sè d­¬ng ta cã:


Céng theo vÕ, ta cã:




C¸ch 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho cÆp sè (1;1;1) vµ
, ta cã:


Bµi tËp bæ sung:
1. Chøng minh r»ng:
a) víi


HD: Dïng B§T Trª_b­_sÕp:
§Æt a1 = a2009 ; a2 = b2009 ; a3 = c2009 b1 =
; b2 =
; b3 =

Do 0
a
b
c Nªn ta cã ; a1
a2
a3 vµ b1
b2
b3
(a2009+b2009+c2009)

3



2. Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1. Chøng minh r»ng

HD: ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c)
Ta cã

3. Cho a,b,c lµ c¸c sè d­¬ng. Chøng minh r»ng
(1)
HD (1)




¸p dông B§T phô
Víi x,y > 0 Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng
VËy
(®pcm)
4. Chøng minh r»ng

HD Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã


5. Cho x, y>0 tháa m·n: x+y>6. Chøng minh r»ng:

HD:
. Sau ®ã ¸p dông B§T C« si cho 2 sè d­¬ng.
6. Cho
. Chøng minh r»ng:

HD: Sö dung bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki


7. Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:

HD:

8. Cho

HD:
. ¸p dông B§T Bunhiac«pxki ta cã:


Ph­¬ng ph¸p 4: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu
L­u ý: A>B vµ b>c th× A>c
0< x <1 th× x
vÝ dô 1:
Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d. Chøng minh r»ng: ab >ad+bc
Gi¶i:
Tacã




(a-c)(b-d) > cd

ab-ad-bc+cd >cd

ab> ad+bc (®iÒu ph¶i chøng minh)
vÝ dô 2:
Cho a,b,c>0 tháa m·n

Chøng minh

Gi¶i:
Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)
0

ac+bc-ab

( a2+b2+c2)

ac+bc-ab

1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã



vÝ dô 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d)> 1-a-b-c-d
Gi¶i:
Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nªn ab>0

(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nªn 1- c>0 ta cã

(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd

(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
(§iÒu ph¶i chøng minh)
vÝ dô 4
Cho 0 Gi¶i :
Do a < 1

nªn

1-b-
+
b > 0

1+

>
+ b(1)
mµ 0< a,b <1
>
,
>
(2)
Tõ (1) vµ (2)
1+

>
+


+
< 1+