Mot so pp giai phuong trinh nghiem nguyen

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN.

Việc giải phương trình nghiệm nguyên (PTNN), luôn đòi hỏi HS khả năng phân tích, đối chiếu dự đoán và phương pháp (PP) tư duy lôgíc để lựa chọn nghiệm thích hợp. Vì vậy các bài toán này thường thấy cả trong các đề thi toán trên tạp chí toán học sơ cấp, các đề thi toán chọn học sinh giỏi (HSG), các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán. Với loại toán này, không có một PP giải tổng quát mà chỉ có những PP giải phù hợp với các bài toán loại này.
Trong quá trình giảng dạy, tìm tòi và nghiên cứu, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải PTNN. Hi vọng rằng, nó sẽ giúp các em HS biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này. Sau đây là một vài phương pháp giải PTNN thường gặp.
( Phương pháp 1: ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH.
Mục đích của phương pháp này là biến đổi PT về dạng: vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
(1)
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2005-2006-Trường THPT chuyên Lưong Văn Chánh-TP Tuy Hoà-Phú Yên).
Hướng dẫn :
Ta có :




hoặc
hoặc
hoặc



hoặc
hoặc
hoặc

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên là
.
(Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI.
Nội dung của phương pháp này là biến đổi PT về dạng PT bậc hai của ẩn, xem các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của PT bậc hai để xác định giá trị của các tham số đó.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
(2)
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2005-2006-Trường THPT chuyên Lưong Văn Chánh-TP Tuy Hoà-Phú Yên).
Hướng dẫn :
Ta có : (2)

.
Giả sử PT (2) ẩn x có nghiệm nguyên
và
thì theo hệ thức Viet, ta có:









hoặc



hoặc
.
Lần lượt thế các giá trị
và
vào PT (5) ta tìm được các nghiệm x là:-1;3;5:9.
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên là : (x;y)
.
Ví dụ 3 : Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT :
(3)
(Trích đề thi HSG Tỉnh Phú Yên-Bảng A-Vòng 2-Năm học 1999-2000)
Hướng dẫn :
Ta có : (3)
.
+Xét trường hợp y = 0
x = k ( k là số nguyên )



+Xét trường hợp y
0. Khi đó:


. Xem đây là một PT bậc hai ẩn y. Để PT này có nghiệm thì:

phải là một số chính phương.
Tức là :
(với
)

.
Do



Ta có các hệ PT sau:

hoặc
hoặc
hoặc
hoặc
hoặc

Giải các hệ PT trên tập số nguyên x, ta được x = 9; 8; 0; -1. Từ đó ta tìm được các giá trị tương ứng của y = -6; -21; -10; 0; -1
Tóm lại, PT (3) có nghiệm là (x;y) = (9;-6); (9;-21); (8;-10); (-1;-1) và (k;0) với k
.

(Phương pháp 3: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG.
Mục đích của phương pháp này là biến đổi PT về dạng: vế trái là tổng của bình phương còn vế phải là tổng của các số chính phương.
Ví dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của PT :
(4)
Hướng dẫn :
Ta có :






hoặc

Giải các hệ PT trên và thử lại, ta được 4 nghiệm nguyên là : (x;y)
.

(Phương pháp 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN.
Ý tưởng của PP này là vận dụng tính chia hết và tính chất của số nguyên để thu hẹp miền xác định của nghiệm. Trong nhiều trường hợp, có thể thử trực tiếp để tìm nghiệm của PT.
Ví dụ 5 : Tìm các nghiệm nguyên của PT :
(5)
(Trích đề thi HSG Toán, lớp9, Tỉnh Phú Yên, Bảng A, Vòng 2, Năm học: 2003-2004).
Hướng dẫn :
Ta có :





(vì
)
Do x, y là các số nguyên nên 18