MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Chuyên đề :
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
---------------------------------------
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách các hạng tử.
+ Phân tích đa thức một biến thành nhân tử khi biết một nghiệm của nó.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp giảm dần của luỹ thừa.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định ( đồng nhất hệ số).
+ Phân tích các biểu thức có tính đối xứng thành nhân tử.
……………………………………………..
I. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG:
Phương pháp:
+ AB + AC = A(B + C)
+ AB + AC + AD = A(B + C + D)
+ AB + AC – AD – AE = A(B + C – D – E)
A: gọi là nhân tử chung
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
mx + my + m
5ax – 15ay + 20a
xy – y
16x2(x – y) – 18y(y – x) + 5(x – y)2
14x3y2 – 21xy3 + 28x2y2
x2016 + x2018 + x2020 + x2022
3.xm + 4 + 5.xm + 3 + xm + 2 , m
N
Hướng dẫn:
Nhận xét : y – x = - (x – y)
Các hạng tử của đa thức đều chứa biến x, y. Chọn x, y với số mũ tương ứng nhỏ nhất trong các hạng tử
x có mũ nhỏ nhất là 2016, nhân tử chung: x2016
x có mũ nhỏ nhất là m + 2, nhân tử chung: xm + 2

II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC:
Nhận xét:
Trong đa thức nếu có chứa “bình phương” thì ta thường dùng các hằng đẳng thức:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Trong đa thức nếu có chứa “lập phương” thì ta thường dùng các hằng đẳng thức:
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2 )
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a2 – 4b2 b) 25a2 – 1 c) a2 – 9 d)
a2 –

e)
a4 –
f) (2a + b)2 – a2 g) 16(x – 1)2 – 25(x + y)2
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x2 + 10x + 25
25x2 – 20xy + 4y2
9x4 + 24x2 + 16
x3 + 8
8x3 + 27y3
x3 – 125
x6 – 1
x3 + 15x2 + 75x + 125

Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x2 + 4x + 3
8x3 – 36x2 + 54x – 26

x2 + 4x + 3 = (x + 2)2 – 1
= [(x + 2) + 1][(x + 2) – 1]
= (x + 3)(x + 1)
8x3 – 36x2 + 54x – 26 = (8x3 – 36x2 + 54x – 27) + 1
= (2x – 3)3 + 1
= [(2x – 3) + 1][(2x – 3)2 – (2x – 3).1 + 1]
= 2(x – 1)(4x2 – 14x + 13]


III. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PP NHÓM HẠNG TỬ:
Lưu ý:
+ Có thể có nhiều cách nhóm khác nhau.
+Những biểu thức có 4 hạng tử ta thường nhóm 2 – 2 hoặc 1 – 3
+ Những biểu thức có 5 hạng tử ta thường nhóm 2 – 3
+ Những biểu thức có 6 hạng tử ta thường nhóm 2 – 2 – 2 hoặc 3 – 3
…………………….
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử