Một số bài tích phân hay

GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY

Bài 1. Tính các tích phân sau :

.


GIẢI

.(ĐHTM-2001)
- Chia tử và mẫu cho
. Ta được :

. Đặt

- Đặt :


. ( ĐHTNguyên-98)
- Ta có :
.
- Đặt :

- Đặt :

- Từ :


.
Phân tích :

Tính J : Phân tích :



Vậy :

Tính K . Phân tích :



Đặt :

Với :

Thay hai kết quả của J và K vào ta tìm ra I
Bài 2. Tính các tích phân sau :




GIẢI


Phân tích :

Vậy :



Đặt :

Vậy :



Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy :
I
Bài 3. Tính các tích phân sau :



Chứng minh rằng :
. ( ĐH-Thái Nguyên KG-2001 )
GIẢI


Đặt :



Vậy :

2. Chứng minh :
.
- Đặt :
. Khi đó :
- f(x)dx= sin

- Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm)
Bài 4 . Tính các tích phân sau :

. ( ĐHLâm Nghiệp - 2000)

. Tính
. ( ĐHSPI-98)
GIẢI


.
Đặt :

Vậy :

- Tính H :

- Tính J :

- Vậy : I=

b. Ta có :

- Tính :
.
- Đặt :

Thay vào (1) ta được :


Vậy :

Bài 5 . Tính các tích phân sau :



. (ĐHYHN-2001)
GIẢI

; f(x)=



Vậy :
(1)
Tính :
. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần :
Tương tự :






Vậy :
.

.
* Nhắc nhở học sinh không được áp dụng cách đặt :
,vì hàm số cosx không xác định với mọi x thuộc
.Mà phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần .






Bài 6. Tính các tích phân sau :

. Áp dụng tính :


. Áp dụng : tính :

GIẢI


Phân tích :
. Đặt :

Do đó :

Vậy :





Đặt :

Do đó :
. Vì :

Cho nên :




Bài 7. Tính các tích phân sau :

. Với :
. Áp dụng tính :


. Áp dụng tính :

GIẢI


Đặt :

Đặt :

Vậy :

Do đó :



Đặt :

Vậy :

Áp dụng : a=1,b=1 suy ra : c=
. Ta có :

Bài 8 . Tính các tích phân sau .



GIẢI


Đặt :

Vậy :

Tính :

Do đó :
. Thay vào (1) :



Ta có :


Đồng nhất hệ số hai tử số :


Vậy :

Chú ý : Ta có thể sử dụng kỹ thuật " Nhẩy tầng lầu " phân tích :
f(x)=

Bài 9. Tính các tích phân sau .



GIẢI

.
HỌC SINH CHÚ Ý : Phải sử dụng hai lần đổi biến số .
Đặt :

Đặt :

Vậy :



Đặt :



Do đó :
. Cộng (1) và (2) vế với vế :
Suy ra :

Vậy :

Bài 10. Tính các tích phân sau .



GIẢI

. Áp dụng công thức :
. Ta có :


Vậy :

Ta có :

Tương tự :


. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ,ta có :


Vậy :

Bài 11. Tính các tích phân sau :
a.
b.

c. Chứng minh :
. Từ đó tính : J=

Giải .
a.



Đặt :
. Vậy :

b.



c.

Đặt :
. (đpcm)