Một đề thi HSG lớp 10 môn toán

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
Trường THPT Kim Sơn A
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
Năm học 2008 – 2009
MÔN THI: TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)


Bài 1: (4 điểm)
1) Cho phương trình:
, với m là tham số. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt không âm
thỏa mãn:
.
2) Cho
là nghiệm PT
;
là nghiệm PT
.
Tính

Bài 2: (4 điểm)
Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1)
2)

Bài 3: (4 điểm)
1) Cho hàm số

Chứng minh rằng:

2) Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1, biết P(x) thỏa mãn: P(1) = 3, P(3) = 11, P(5) = 27. Tính giá trị của P(-2) + 7P(6).
Bài 4: (6 điểm)
1) Cho
đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Một điểm M di động trên đường tròn (O; R). Chứng minh rằng
luôn luôn không đổi.
2) Trong mp toạ độ (Oxy) cho 2 đường thẳng: (d1):
, (d2):
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d1),(d2) một tam giác cân tại giao điểm của (d1),(d2).
3) Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường thẳng
và điểm M chạy trên
. Trên tia OM lấy điểm N sao cho OM.ON = 1. Chứng minh N chạy trên 1 đường tròn cố định và viết phương trình đường tròn đó.
Bài 5: (2 điểm)
Cho ba số
thỏa mãn:
. Tìm giá trị lớn nhất của :

===========Hết==========