Luan van thac si gai tich
Chia sẻ bởi Đỗ Mạnh Hùng |
Ngày 14/10/2018 |
42
Chia sẻ tài liệu: luan van thac si gai tich thuộc Tư liệu tham khảo
Nội dung tài liệu:
Chương 2
ĐỘ ĐO JENSEN
2.1 Các định nghĩa
2.1.1 Định nghĩa
Cho là tập con mở của , và cho . Độ đo Jensen tại trên là một độ đo xác suất Borel , có giá trong một tập con compact của , thoả mãn với mọi hàm điều hoà dưới trên sao cho
.
Nếu là hình cầu đóng trong với tâm , thì độ đo Lebesgue chuẩn hoá trên là độ đo Jensen tại , như là độ đo mặt chuẩn hoá trên .Điều này xuất phát từ bất đẳng thức dưới trung bình đối với các hàm điều hoà dưới.
Một ví dụ đơn giản khác là , độ đo Dirac tại cũng là độ đo Jensen tại .
Ta có định nghĩa sau
2.1.2 Định nghĩa
Cho một hàm bao điều hoà dưới của là
Ở đây là họ của các hàm điều hoà dưới trên .
2.1.3 Định nghĩa
Cho một hàm bao Jensen của là
.
là họ tất cả các độ đo Jensen tại trên .
Chú ý rằng là hàm đủ ‘tốt’ cho tất cả tồn tại và ta có kết quả tiếp theo là hiển nhiên
2.1.4 Mệnh đề
.
Chúng minh
Cố định . Cho với , và cho bất kì ta có
.
Lấy supremum theo tất cả và infimum theo mọi như trên ta có
.
Hay
.
2.2 Định lý đối ngẫu trừu tượng
Chúng ta sẽ nghiên cứu định lý đối ngẫu trên cơ sở lý thuyết đã có.Định lý này cho phép chúng ta xem xét đồng thời hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoà dưới cũng như có thể áp dụng được vào lý thuyết đa thế vị.
Chúng ta kí hiệu sau
Cho là không gian metric compact, và cho là tập hợp các hàm số liên tục từ thoả mãn
i) .
ii) .
iii) tách các điểm của và chứa các hằng số.
Với mỗi , độ đo tại là độ đo xác suất Borel trên thoả mãn
.
Chúng ta kí hiệu là tập tất cả độ đo tại . Cho , ta định nghĩa
.
Định lý đối ngẫu trừu tượng sau là kết quả của Edward, [07]
Định lý
Cho là hàm số nửa liên tục dưới. Khi đó
.
Chứng minh
Theo mệnh đề 2.1.3. Ta dễ dàng chứng minh được với mọi . Ta sẽ chứng minh điều ngược lại tức là thật vậy
Đầu tiên ta giả sử , chú ý là hàm số giá trị thực liên tục trên . Và giả sử với mọi . Ta có thể thêm một hằng số vào nếu cần, không giảm mất tính chất tổng quát của bài toán ta giả sử . Định nghĩa
.
Thế thì là tập nón lồi trên , và vì . Do đó, theo định lý Hahn-Banach và định lý Riesz đã chứng minh, tồn tại độ đo Borel có dấu trên thoả mãn
(2.1)
Mặt khác, vì bao gồm tất cả các hàm số liên tục, dương trên do đó, chỉ là độ đo dương. Nhân thêm bởi một hằng số, chúng ta có thể giả sử rằng là một độ đo xác suất.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng chính là độ đo tại . Cho . với mỗi . Đặt . Thế thì , vì do đó .
Cho , ta được . Điều chứng minh dưới đây xét , và trong tất cả các trường hợp đẳng thức luôn xảy ra.
Theo bất đẳng thức (2.1) ta có khi đó mâu thuẫn với điều giả sử. Do đó trong trường hợp là hàm số liên tục.
Giả sử chỉ là hàm số nửa liên tục dưới. Cho là dãy trong mà hội tụ tới . Ta vừa chứng minh, với mỗi , tồn tại sao cho
.
Nếu thì
.
Giới hạn của hội tụ - yếu tới . Cho qua giới hạn này, và sau đó ta được
.
Do đó, lặp lại một lần chúng ta có .
Vậy
Nhận xét: Nếu là nửa liên tục trên thì định lý 2.2 không còn đúng nữa. Thật vậy, điều đó là sai khi chứa một dãy giảm mà có giới hạn là không liên tục. Vì nếu đặt thì là nửa liên tục trên và thoả mãn , nhưng , bởi vì là supremum của họ hàm số liên tục, và là liên tục dưới. Do đó, .
Định lý 2.2 dùng để chứng minh một cách tổng quát
ĐỘ ĐO JENSEN
2.1 Các định nghĩa
2.1.1 Định nghĩa
Cho là tập con mở của , và cho . Độ đo Jensen tại trên là một độ đo xác suất Borel , có giá trong một tập con compact của , thoả mãn với mọi hàm điều hoà dưới trên sao cho
.
Nếu là hình cầu đóng trong với tâm , thì độ đo Lebesgue chuẩn hoá trên là độ đo Jensen tại , như là độ đo mặt chuẩn hoá trên .Điều này xuất phát từ bất đẳng thức dưới trung bình đối với các hàm điều hoà dưới.
Một ví dụ đơn giản khác là , độ đo Dirac tại cũng là độ đo Jensen tại .
Ta có định nghĩa sau
2.1.2 Định nghĩa
Cho một hàm bao điều hoà dưới của là
Ở đây là họ của các hàm điều hoà dưới trên .
2.1.3 Định nghĩa
Cho một hàm bao Jensen của là
.
là họ tất cả các độ đo Jensen tại trên .
Chú ý rằng là hàm đủ ‘tốt’ cho tất cả tồn tại và ta có kết quả tiếp theo là hiển nhiên
2.1.4 Mệnh đề
.
Chúng minh
Cố định . Cho với , và cho bất kì ta có
.
Lấy supremum theo tất cả và infimum theo mọi như trên ta có
.
Hay
.
2.2 Định lý đối ngẫu trừu tượng
Chúng ta sẽ nghiên cứu định lý đối ngẫu trên cơ sở lý thuyết đã có.Định lý này cho phép chúng ta xem xét đồng thời hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoà dưới cũng như có thể áp dụng được vào lý thuyết đa thế vị.
Chúng ta kí hiệu sau
Cho là không gian metric compact, và cho là tập hợp các hàm số liên tục từ thoả mãn
i) .
ii) .
iii) tách các điểm của và chứa các hằng số.
Với mỗi , độ đo tại là độ đo xác suất Borel trên thoả mãn
.
Chúng ta kí hiệu là tập tất cả độ đo tại . Cho , ta định nghĩa
.
Định lý đối ngẫu trừu tượng sau là kết quả của Edward, [07]
Định lý
Cho là hàm số nửa liên tục dưới. Khi đó
.
Chứng minh
Theo mệnh đề 2.1.3. Ta dễ dàng chứng minh được với mọi . Ta sẽ chứng minh điều ngược lại tức là thật vậy
Đầu tiên ta giả sử , chú ý là hàm số giá trị thực liên tục trên . Và giả sử với mọi . Ta có thể thêm một hằng số vào nếu cần, không giảm mất tính chất tổng quát của bài toán ta giả sử . Định nghĩa
.
Thế thì là tập nón lồi trên , và vì . Do đó, theo định lý Hahn-Banach và định lý Riesz đã chứng minh, tồn tại độ đo Borel có dấu trên thoả mãn
(2.1)
Mặt khác, vì bao gồm tất cả các hàm số liên tục, dương trên do đó, chỉ là độ đo dương. Nhân thêm bởi một hằng số, chúng ta có thể giả sử rằng là một độ đo xác suất.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng chính là độ đo tại . Cho . với mỗi . Đặt . Thế thì , vì do đó .
Cho , ta được . Điều chứng minh dưới đây xét , và trong tất cả các trường hợp đẳng thức luôn xảy ra.
Theo bất đẳng thức (2.1) ta có khi đó mâu thuẫn với điều giả sử. Do đó trong trường hợp là hàm số liên tục.
Giả sử chỉ là hàm số nửa liên tục dưới. Cho là dãy trong mà hội tụ tới . Ta vừa chứng minh, với mỗi , tồn tại sao cho
.
Nếu thì
.
Giới hạn của hội tụ - yếu tới . Cho qua giới hạn này, và sau đó ta được
.
Do đó, lặp lại một lần chúng ta có .
Vậy
Nhận xét: Nếu là nửa liên tục trên thì định lý 2.2 không còn đúng nữa. Thật vậy, điều đó là sai khi chứa một dãy giảm mà có giới hạn là không liên tục. Vì nếu đặt thì là nửa liên tục trên và thoả mãn , nhưng , bởi vì là supremum của họ hàm số liên tục, và là liên tục dưới. Do đó, .
Định lý 2.2 dùng để chứng minh một cách tổng quát
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Đỗ Mạnh Hùng
Dung lượng: 1,63MB|
Lượt tài: 0
Loại file: doc
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)