Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường ĐH (PT)

Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường ĐH
năm học 2009-2010

Phương trình, hệ phương trình 1

1. (Đại học Vinh) Giải phương trình:

2. (Hà Nội) Giải phương trình
Giải. Điều kiện x ( 2/3. Nhân hai vế của phương trình với
, ta được



Đến đây ta có thể giải bằng nhiều cách
Cách 1. Kết hợp với phương trình
để được phương trình

từ đó giải được bằng cách bình phương hai vế.
Cách 2. Giải phương trình
bằng phương pháp bình phương liên tiếp.

Cách 3. Chú ý rằng
là một hàm số tăng trên miền xác định. Do đó phương trình f(x) = 9 có không quá 1 nghiệm. Nhận thấy x = 6 là nghiệm của phương trình f(x) = 9, suy ra x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = 9, và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đề bài.

3. (Ninh Bình) Giải hệ phương trình

Trong đó a là tham số thoả mãn điều kiện 0 < a < 1.
4. (Đồng Nai) Giải phương trình


Giải. Sử dụng hằng đẳng thức
sin3x – cos3x = 3sinx – 4sin3x + 3cosx – 4cos3x = (sinx+cosx)(3 - 4(sin2x-sinxcosx+cos2x) = (sinx+cosx)(2sin2x-1)
ta được điều kiện để phương trình có nghĩa là (sinx+cosx)(2sin2x-1) ( 0 và trong điều kiện đó, phương trình được rút gọn lại thành
sinx – cosx = (sin3x – cos3x)(2sin2x-1)
( (sinx – cosx)(1 – (sin2x+sinxcosx+cos2x)(2sin2x-1)) = 0
( (sinx – cosx)(–sin22x – 3/2sin2x + 2) = 0
Từ đó giải ra được phương trình.

Bình luận. Bài này giống đề thi đại học hơn, không có ý tưởng gì.

5. (Đồng Nai) Giải hệ phương trình



6. (Bình Định) Giải phương trình:
Giải. (Dựa theo ý tưởng của nguyenvannam)
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x3, ta được


với t = 1/x (t ( 0).
Ta biến đổi phương trình (1) tiếp tục như sau


Xét hàm số f(x) = x3 + 2x thì f’ = 3x2 + 2 > 0 nên f là một hàm số tăng trên R. Phương trình cuối cùng có thể viết lại thành


Do f là hàm số tăng nên phương trình này tương đương với

Giải ra ta được t = 0 (loại),
. Tương ứng ta tìm được
.

7.
a. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a sao cho phương trình:
a(sin2x+1) + 1 = (a-3)(sinx+cosx) có nghiệm b. Phương trình 2x – 1 – x2 = 0 có bao nhiêu nghiệm số thực? Hãy giải thích.

8. (Đồng Nai) Giải hệ phương trình


Giải. Nếu y = 0 thì từ phương trình (1) suy ra x = 0, và phương trình (2) không được thoả mãn. Vậy y ( 0. Chia hai vế của phương trình (1) cho y5, ta được
(3). Xét hàm số f(x) = x5 + x, ta có f’(x) = 5x4 + 1 > 0, suy ra f là hàm số tăng trên R. Phương trình (3) có thể viết lại thành f(x/y) = f(y) và do f là hàm tăng nên tương đương với x/y = y, suy ra x = y2. Thay vào phương trình (2), ta được
(4). Giải ra ta được x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (4). Từ đó hệ ban đầu có nghiệm duy nhất (x ; y) = (1 ; 1) và (1 ;-1).

Ghi chú. Tham khảo thêm lời giải bài 2 (Hà Nội) và bài 6 (Bình Định)

9. (Cần Thơ) Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình


10. (Đại học Sư phạm) Giải trong tập hợp các số thực hệ phương trình sau:

Giải. Giả sử (x1, x2, …, x2009) là một nghiệm của hệ. Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có


Suy ra
(1).
Bây giờ áp dụng bất đẳng thức Chebysev cho các bộ số (x12, x22, …, x20092) và (