Kỹ thuật sử dụng đạo hàm tìm min, max

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ


I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Cho hàm số xác định trên D
+Nếu
thì


+Nếu
thì

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Ta thường gặp hai dạng bài toán sau:
Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là +∞). Hãy tìm
và
(nếu chúng tồn tại).
Cách giải. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó mà kết luận. Nếu trên khoảng (a;b) có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu), thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất(giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đã cho trên khoảng (a;b).
Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãi tìm
và
.
Cách giải 1. Để giải bài toán này , ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức là lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách giải 2.Ta có quy tắc sau đây:
1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …., xn của f(x) trên đoạn [a;b].
2) Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).
3)
;

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3a trang 66 Sgk)

trên đoạn [-4;4]

Bài làm
Ta có:
,

Cả hai giá trị này đều thuộc đoạn [-4;4]
f(-4)=-41, f(-1)= 40, f(3)= 8, f(4)=15
Vậy
và
.



Bài 2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3d trang 66 Sgk)

trên đoạn


Bài làm
Ta có:



Trên đoạn
phương trình trên có nghiệm là 2x = ±




Vậy max y =
, min y =


Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số(Bài tập 3b trang 66 Sgk)

trên đoạn [-10;10]


 Bài làm
Ta có



Bảng biến thiên

x
 -10 1
2 10



 - + 0 - +


y(x)

132
72

0 0


Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của y là [0;132]

,


Bài 4.
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số




 Bài làm.
Ta có

Đặt t=sinx + cosx (
)
. Khi đó :

với
. Ta có

) với

g(t) =

với



Bảng biến thiên:

t


0





 - + 0 - +


g(x)








Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của g(t) là

Do f(x)≥0 nên
;


Bài 5.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình


Tìm m sao cho

a) Đạt GTNN
b) Đạt GTLN


 Bài làm:

Để phương trình có nghiệm

Theo định lí Vi- et thì
,

Ta có


.
Bảng biến thiên :
m
-∞
-2 0 2
+∞



 + +



F







 Do đó F lớn nhất =

F nhỏ nhất =


Bài 6.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số :




 Bài làm
Ta có :

Đặt
ta có

Suy ra
nên