Kỹ thuật chọn điểm rơi chứng minh BĐT

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị
http://violet.vn/toan_cap3/
Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp nhất.
Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3
Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:
Bài 1: Cho
.Tìm Min của:

Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để
vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk

Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán.Khi a=3 thì
và

Ta áp dụng Cosi như sau: ta có

Khi đó kết hợp với đk
ta có

Dễ thấy khi a=3 thì
.Vậy
khi a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:


Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này
và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:


Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có
.Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có
.Thay vào ta có

Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:
P=
+
+
>=

Giải:
Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng
nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng
.Ở đây dễ thấy
.Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm rơi".
Ta hãy cứ viết
và dấu "=" đạt được khi
.Ta chú ý tiếp đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi
.Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta được ngay:


Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1.
Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn:
Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:
P=
+
+