KSHS - TIẾP TUYẾN

KSHS 04: TIẾP TUYẾN

A. Kiến thức cơ bản
( Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số
tại điểm
là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
là:



( Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1):
và (C2):
tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
( Nếu
và (C2):
thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau ( phương trình
có nghiệm kép.
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Viết phương trình tiếp tuyến ( của (C):
tại điểm
:
( Nếu cho
thì tìm
.
Nếu cho
thì tìm
là nghiệm của phương trình
.
( Tính
. Suy ra
.
( Phương trình tiếp tuyến ( là:
.
2. Viết phương trình tiếp tuyến ( của (C):
, biết ( có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
( Gọi
là tiếp điểm. Tính
.
( ( có hệ số góc k (
(1)
( Giải phương trình (1), tìm được
và tính
. Từ đó viết phương trình của (.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
( Phương trình đường thẳng ( có dạng:
.
( ( tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

(*)
( Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của (.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ( có thể được cho gián tiếp như sau:
+ ( tạo với trục hoành một góc ( thì
.
+ ( song song với đường thẳng d:
thì

+ ( vuông góc với đường thẳng
thì

+ ( tạo với đường thẳng
một góc ( thì

3. Viết phương trình tiếp tuyến ( của (C):
, biết ( đi qua điểm
.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
( Gọi
là tiếp điểm. Khi đó:
.
( Phương trình tiếp tuyến ( tại M:

( ( đi qua
nên:
(2)
( Giải phương trình (2), tìm được
. Từ đó viết phương trình của (.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
( Phương trình đường thẳng ( đi qua
và có hệ số góc k:

( ( tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

(*)
( Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến (.
4. Viết phương trình tiếp tuyến ( của (C):
, biết ( tạo với trục Ox một góc (.
( Gọi
là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc
.
( ( tạo với trục Ox một góc ( (
. Giải phương trình tìm được
.
( Phương trình tiếp tuyến ( tại M:

5. Viết phương trình tiếp tuyến ( của (C):
, biết ( tạo với đường thẳng d:
một góc (.
( Gọi
là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc
.
( ( tạo với d một góc ( (
. Giải phương trình tìm được
.
( Phương trình tiếp tuyến ( tại M:

6. Viết phương trình tiếp tuyến ( của (C):
, biết ( cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.
( Gọi
là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc
.
( (OAB vuông cân ( ( tạo với Ox một góc
và O ( (. (a)
(
. (b)
( Giải (a) hoặc (b) tìm được
. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến (.
8. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
.
a) Gọi (:
là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của ( và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của ( và (C2).
( ( tiếp xúc