KSHS - ĐƠN ĐIỆU

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số
có tập xác định D.
( Hàm số f đồng biến trên D (
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
( Hàm số f nghịch biến trên D (
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
( Nếu
thì:
+
+

( Định lí về dấu của tam thức bậc hai
:
+ Nếu ( < 0 thì
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu ( = 0 thì
luôn cùng dấu với a (trừ
)
+ Nếu ( > 0 thì
có hai nghiệm
và trong khoảng hai nghiệm thì
khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
cùng dấu với a.
( So sánh các nghiệm
của tam thức bậc hai
với số 0:
+
+
+

(
;

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số
đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định).
( Hàm số f đồng biến trên D (
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
( Hàm số f nghịch biến trên D (
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D.
( Nếu
thì:
+
+

2. Tìm điều kiện để hàm số
đơn điệu trên khoảng
.
Ta có:
.
a) Hàm số f đồng biến trên
(
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc
.
Trường hợp 1:
( Nếu bất phương trình
(*)
thì f đồng biến trên
(

( Nếu bất phương trình
(**)
thì f đồng biến trên
(

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
không đưa được về dạng (*) thì đặt
. Khi đó ta có:
.
– Hàm số f đồng biến trên khoảng
(
(

– Hàm số f đồng biến trên khoảng
(
(

b) Hàm số f nghịch biến trên
(
và
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc
.
Trường hợp 1:
( Nếu bất phương trình
(*)
thì f nghịch biến trên
(

( Nếu bất phương trình
(**)
thì f nghịch biến trên
(

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
không đưa được về dạng (*) thì đặt
. Khi đó ta có:
.
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
(
(

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
(
(

3. Tìm điều kiện để hàm số
đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước.
( f đơn điệu trên khoảng
(
có 2 nghiệm phân biệt
(
(1)
( Biến đổi
thành
(2)
( Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
( Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số

a) Đồng biến trên
.
b) Đồng biến trên
.
c) Đồng biến trên
.
Tập xác định:
,



5. Tìm điều kiện để hàm số

a) Nghịch biến trên
.
b) Nghịch biến trên
.
c) Nghịch biến trên
.
Tập xác định:
,


















Cho hàm số
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
( Tập xác định: D = R.
.
(1) đồng biến trên R (
(


Cho hàm số
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
.
( Tập xác định: D = R.
. y( có
.
+ Nếu
thì
(
( hàm số đồng biến trên