Kĩ thuật Côsi ngược dấu

Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu
Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.
 Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:


Bài giải:
Ta luôn có :


Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:
nên
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

  (2)

  (3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức
thì ta phải dùng tới biểu thức

Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:


Ta có:

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:
nên

(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)

(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:


Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:
Bài 1) Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:


Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:


Bài 3)Cho 3 số
và a+b+c=3.Chứng minh rằng: