Khai thác từ phương trình lượng giác cơ bản

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
cos23( = a CÓ NHIỀU VẬN DỤNG


Nguyễn Lái
GVTHPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH

Tài liệu này được rút ra một bài toán được đăng trong tạp chí Toán Học và Tuổi trẻ
Về mục TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN số 367 tháng 1/2008.

Xét phương trình : cos23( = a (0 ( a (1) (1).
Ứng với một giá trị
, giả sử ( = x là một nghiệm phương trình (1) nghĩa là
cos23x = a ( đúng )
( = (
- x) và ( = (
+x) cũng là nghiệm phương trình (1) ,
vì cos23(
- x) = cos23x = a ; cos23(
+ x) = cos23x = a.
Phương trình (1) viết lại : (4cos3( - 3cos()2 = a ( 16cos6( - 24cos4( + 9cos2( - a = 0
Đặt t = cos2(, t( ( 0; 1( . Phương trình trở thành: 16t3 – 24t2 + 9t – a = 0 (2)
Nhận xét : Nếu ( = x là nghiệm phương trình (1) thì :
t1 = cos2x ;t2 = cos2(
- x ) ; t3 = cos2(
+ x) là 3 nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
Từ phương trình (2) theo định lý Viét ta có:
t1+t2+t3 =
; t1.t2+t2.t3+t3.t1 =
; t1.t2.t3 =
.
Từ đó ta có nhiều sự vận dụng lý thú sau:
Ví dụ 1 .Chứng minh rằng các biểu thức sau đây độc lập với x ,
S1 = cos2x+cos2(
- x) +cos2(
+ x).
S2= cos2x.cos2(
- x) + cos2(
- x). cos2(
+ x) + cos2(
+ x).cos2x.
S3= cos4x + cos4(
- x) +cos4(
+ x) .
Lời giải :Ta có S1 = cos2x+cos2(
- x) +cos2(
+ x) = t1+t2+t3 =
.
S2= cos2x.cos2(
- x)+cos2(
- x).cos2(
+ x)+cos2(
+ x).cos2x = t1.t2+t2.t3+t3.t1 =

S3= cos4x+cos4(
- x)+cos4(
+x)= t12+t22+t32 = (t1 + t2 + t3)2 –2(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) =
.
Ví dụ 2:Chứng minh rằng :

Lời giải :Ta có cos6x + cos6(
- x) + cos6(
+x) = t13 + t23 + t33 =
=(t1 + t2 + t3)3 –3(t1 + t2 + t3)(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) + 3t1 t2 t3 =
(*)
Cho
từ phương trình (1) ta có :
.
Vậy (*) tương đương:

Ví dụ 3 : Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :

.
Lời giải :Như trên,ta có :cos4x + cos4(
+ x) +cos4(
- x) =
.
cos6x + cos6(
+ x) + cos6(
- x) =
.
Do đó : y =

Đẳng thức xảy ra khi và ch? khi a = 0
cos23x = 0
x =
+k
( k( Z )
Mặt khác y =

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1
cos23x = 1
x = k
. ( k( Z ) .
Vậy : GTNN : y =
khi x =
+k
; GTLN: y =
khi x = k
. ( k( Z )

Ví dụ 4: Định tham số m để phương trình sau đây có nghiệm:

.
Lời giải :Điều kiện : t1 = cos2x( 0 t2 = cos2(
+ x) ( 0 ; t3 = cos2(
- x) ( 0
Từ phương trình (2) ( a ( 0 và phương trình viết lại
( 0 < a ( 1 )
hay : aX3 - 9 X2 + 24X - 16 = 0 ( với X =
) (3).
Theo định lý Viét cho phương trình (3)vế trái của phương trình đã cho là:
-

Do đó phương trình trở thành :
.
Đặt f(a) =
là hàm số ẩn a xác định trong ( 0 ; 1 ].
Ta có đạo hàm: f’(a)=
.
Lập bảng biến thiên ta sẽ có :f’(a)( 0 ; (a( (0;1]( f(a) nghịch biến trong (0 ; 1 ]
( f(a) ( f(1) = 129.
Mặt khác :
.
Do đó để phương trình đã cho