HSG8 HAI LANG 08-09 DE+DA

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2008-2009
Thời gian làm bài 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (3 điểm) Làm thế nào để đem được 6 lít nước từ sông về nếu trong tay chỉ có hai cái can, một can có dung tích 4 lít, một can có dung tích 9 lít và không can nào có vạch chia dung tích ?
Bài 2: (3 điểm) Một số gồm 4 chữ giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giống nhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó.
Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm bớt 200. Tìm các số đó.
Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.
Bài 4: (3 điểm) Tính tổng S =

Bài 5: (4 điểm) Nhân ngày 1- 6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau:
Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và được lấy thêm
số kẹo còn lại. Sau khi bạn thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm
số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và được lấy thêm
số kẹo còn lại.
Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo.
Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính góc BDC

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN
Bài 1: (3 điểm) Ký hiệu (a, b) là trạng thái can 4 lít có a lít với 0
và can 9 lít có b lít với
. Khi đó việc lấy được 6 lít nước từ sông được diễn tả qua các trạng thái sau:
(0; 0)
(0; 9)
(4; 5)
(0; 5)
(4; 1)
(0; 1)
(1; 9)
(4; 6).
Bài 2: (3 điểm) Ta có:
= 16
+ r

= 16
+ (r – 200) ; Với 200 ≤ r <

Trừ các đẳng thức ta có:
1000a = 1600b + 200
5a = 8b + 1
a = 5 và b = 3.
Ta có các số: 5555 và 333 thoả mãn.
Bài 3: (3 điểm) Ta có: n3 – n = (n – 1 )n(n + 1) chia hết cho 3 vì tích của 3 số nguyên liên tiếp.
Ta cũng có: (n – 1 )n(n + 1) chia hết cho 2.
Mà (2, 3) = 1 ; Vậy n3 – n chia hết cho 6.
Bài 4:(3 điểm) S =
=

=
=
=


Bài 5: (4 điểm) Gọi số kẹo phân đội được tặng là x (cái) ; x nguyên, dương.
Số kẹo phân đội thứ nhất nhận:
(cái)
Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ nhất nhận:
(cái)
Số kẹo bạn thứ hai nhận:
(cái)
Vì số kẹo của mỗi bạn bằng nhau nên ta có phương trình:


Số kẹo của mỗi đội viên nhận là:

Số đội viên là: 100 : 10 = 10 (bạn).
Bài 6: (4 điểm) Ở miền trong tam giác ABC ta dựng tam giác đều
BCE khi đó: ∆ABE = ∆ACE (c.c.c)
BAE = CAE = 100.
ABE = 200 và AEB = 1500 suy ra ∆ADC = ∆BEA (c.g.c).

ADC = BEA = 1500
BDC = 300

Ghi chú: (Nếu HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)