HSG8 HAI LANG 06-07 V1 DE+DA

PHÒNG GD HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN LỚP 8
ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2006-2007
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1:(2 điểm)
Cho a > b > 0 thỏa mãn 3a2 + 3b2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức P =

Câu 2: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức: A = 12 – 22 + 32 – 42 + ……+ 9992 - 10002
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không?
Câu 4: ( 1,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số
là phân số tối giản.
Câu 5: (1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P
+2006
Câu 6: ( 2 điểm)
Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có AB < CD. Qua A và B kẻ các đường thẳng song song với BC và AD lần lượt cắt CD ở K và I .Gọi E là giao điểm của AK và BD, F là giao điểm của BI và AC.
Chứng minh rằng:
EF // AB.
AB2 = CD. EF.
----------------------------- HẾT----------------------------
Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.













PHÒNG GD HẢI LĂNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN LỚP 8
NĂM HỌC 2006-2007
Môn thi: Toán
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1:(4 điểm)
Cho a > b > 0 thỏa mãn 3a2 + 3b2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức P =

Cách 1: Xét P2 =
(1,5 đ)
=
(1,5 đ)
Vì a > b > 0 nên P > 0. Suy ra P =
(1 đ)
Cách 2: Ta có 3a2 + 3b2 = 10ab

3a2 -10ab + 3b2 = 0

3a2 – 9ab –ab + 3b2 = 0 (2 đ)

3a(a - 3b) - b( a - 3b) = 0

(a - 3b)( 3a - b) = 0
Vì a > b > 0 nên 3a – b ≠ 0 suy ra
a – 3b = 0 => a = 3b (1 đ)
Khi đó
(1 đ)
Câu 2: (3 điểm) Rút gọn biểu thức: A = 12 – 22 + 32 – 42 + ……+ 9992 - 10002
Ta có: A = (12 – 22 )+ (32 – 42 )+ ……+ (9992 - 10002 ) ( 1 đ)
A = (1- 2)(1+2)+ (3 – 4)(3 + 4) +…………+(999 – 1000)(999 + 1000) ( 0,5 đ)
A = - ( 1 + 2 + 3 + 4 + ……+ 999 + 1000) ( 0, 5 đ)
A = - 500 .1001 = - 500 500 ( 1 đ)
Câu 3: (3 điểm)Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không?
Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng 5a + 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng 5b + 2 (a, b
Z) ( 1 đ)
Ta có tổng bình phương của hai số đó là:

= 5(A+1) ( 1 đ)
Ta có 5
5 nên 5(A+1)
5 hay tổng bình phương của hai số đã cho chia hết cho 5.(1đ)
Câu 4: ( 3 điểm) Cmr với mọi số tự nhiên n thì phân số
là phân số tối giản.
Gọi d = ƯCLN (21n+4, 14n+ 3) với d
N và d ≥ 1. ( 0,75 đ)
Ta có 21n+4
d và 14n+3
d
Khi đó 2(21n+4)
d và 3(14n+3)
d ( 1,25 đ)
Hay 42n + 8
d và 42n + 9
d
Suy ra (42n + 9) – (42n + 8)
d hay 1
d ( 0,5 đ)
Suy ra d =1.Như vậy phân số
là