HSG Toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013


ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi: 02/11/2012.


Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số
, với m là tham số thực, có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng 12.

Câu 2 (2 điểm). Giải phương trình:


Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình:


Câu 4 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
, cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là
. Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là
. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.

Câu 5 (2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).

Câu 6 (1 điểm). Cho các số thực
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

………. Hết……….
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh Số báo danh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013


Môn: TOÁN


HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 04 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
-Trong lời giải câu 4 và câu 5 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Câu 1. (2 điểm)
Nội dung
Điểm

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:



(1)
0,25



0,25

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

0,25

Gọi
là 2 nghiệm của phương trình (2). Tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C là:

0,5



0,25

Theo định lí Viet ta có:
, thay vào (3) ta được
.
0,25

Giải ra ta được
(loại) hoặc
(thỏa mãn). Vậy
là giá trị cần tìm.
0,25

Câu 2. (2 điểm)
Nội dung
Điểm

Điều kiện
, đặt

0,5


, với

0,25


Phương trình đã cho trở thành

0,25



, suy ra

0,5

Với
, ta có
( thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
0,5


Câu 3. (1,5 điểm)
Nội dung
Điểm

Điều kiện:
. Ta có


0,5

Xét hàm số
ta có
đồng biến trên
. Vậy

0,25

Thế vào (2) ta được
(3). Xét hàm số
liên tục trên [-4;1], ta có


nghịch biến trên [-4;1]. Lại có
nên
là nghiệm duy nhất của phương trình (3).
0,5

Với
suy ra
Vậy hệ