HS gioi 04-05

UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
(((
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2004 - 2005
Môn thi : Toán
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian phát đề )

(Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
ĐỀ
Bài 1: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n, ta có
25n4 + 50n3 – n2 – 2n chia hết cho 24.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 2: (3 điểm)
Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + 6
a) Xác định a, b để f(x) chia hết cho x2 + 3x + 2
b) Với a, b tìm được ở câu a. Chứng minh f(x) chia hết cho 6 với mọi x ( Z . Từ đó suy ra nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Bài 3: (3,5 điểm)
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
với a = 2004 ; b = 2005 ; c = 2006
Bài 4: (3 điểm)
Giải phương trình :
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB , BC , CD , DA ta dựng về phía ngoài các hình vuông lần lượt có tâm là O1 , O2 , O3 , O4 . Chứng minh rằng: Tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông.
Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC , AD là đường phân giác trong của góc A (D ( BC). Chứng minh rằng: AD2 = AB. AC – DB. DC
----------HẾT----------
 UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
(((
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn thi : Toán - Năm học 2004 - 2005

Bài 1: (4 điểm)
a) 25n4 + 50n3 – n2 – 2n = n( 25n3 + 50 n2 – n – 2 )
= n( n + 2 )( 25n2 – 1 )
= n( n + 2 )24n2 + n( n + 2 )( n2 – 1 )
= 24n3( n + 2 ) + ( n – 1 ). n( n + 1 )( n + 2 )
Biểu thức cuối cùng này có số hạng thứ nhất chia hết cho 24. Còn số hạng thứ hai có là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1. 2. 3. 4 = 24 (2đ)
b)
Ta thấy: P(x) nhỏ nhất khi lớn nhất và lớn nhất khi nhỏ nhất ; x2 – x + 2 nhỏ nhất bằng khi (2đ)
Bài 2: (3 điểm)
f(x) = x3 + 4x2 + bx + 6
a) Phân tích g(x) = x2 + 3x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )
f(x) g(x) f(x) ( x + 1 )( x + 2 )
(1,5đ)
b) f(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 = ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )
f(x) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên f(x) 6
Khi đó: f(x) = 0 ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 ) = 0
Nghiệm của f(x) = 0 là : x = – 1 ; x= – 2 ; x= – 3 (1,5đ)
Bài 3: (3,5 điểm)
Áp dụng hằng đẳng thức ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab( a + b )
a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 )

Vậy A = 2004 + 2005 + 2006 = 6015
Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình :

Bài 5: (3,5 điểm) Chứng minh: Tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông.


* Xét (BO1O2 và (CO3O2
Có BO1 = CO3 ( =1/2 đ. chéo của 2 h.vuông bằng nhau) (1)
O1BO2 = 900 + B1
O3CO2 = 900 +C1 ( O1BO2 = O3CO2 (2)
B1 = C1 (cùng bù ABC)
BO2 = CO2 ( = 1/2 đ. chéo hình vuông tâm O2) (3)
Từ (1), (2), (3) ( (BO1O2 = (CO3O2 (c