HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :- Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực - Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì :                 x1 + x2 + x3 = -b/2a                     x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a                     x1x2x3 = -d/a I. Những dạng thông thường 1. Nếu x = x0 là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng :
(x - x0)(ax2 + bx + c) = 0
Đặc biệt :- Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm - Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b là nghiệm 2. Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3 pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0 II. Những dạng tổng quát 1. Phương trình 4x3 - 3x = q * Với │q│ ≤ 1 - Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q - Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα - Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3 - Kết luận phương trình có 3 nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3 Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt "ép" ẩn phụ, ta không cần chứng minh rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận ngay. * Với │q│ > 1 : - Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm x0 không thuộc [-1;1] thì x0 là nghiệm duy nhất - Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 - 3x = ½ (a3 + 1/a3) bằng cách :    q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 - 2qa3 + 1 = 0 tìm được a) - CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình 2. Phương trình 4x3 + 3x = q - Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM được x0 là nghiệm duy nhất - Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 - 1/a3) rồi CM x0 = ½ (a - 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên) 3. Phương trình x3 + px + q = 0 (Công thức Cardan - Tartaglia) - Đặt x = u - v sao cho uv = p/3 - Từ pt, ta có : (u - v)3 + 3uv(u - v) = u3 - v3 = q - Hệ phương trình uv = p/3 và u3 - v3 = q cho ta một phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là dạng đầy đủ của công thức trên) Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này 4. Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = 0 Đặt X = x - A/3, pt trở thành x3 + px + q = 0 (#) Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan - Tartaglia Cách 2 : - Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = 0 (chọn k sao cho k3/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k3/4 = -pk/3 nếu p < 0) - Phương trình được đưa về dạng 4t3 ± 3t = Q
B.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN:ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0)
I. Những dạng đặc biệt 1/ Pt trùng phương ax4 + bx2 + c = 0: Đặt t = x2 (t ≥ 0), phương trình trở về dạng bậc hai 2/(x + a)4 + (x + b)4 = c: Đặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)4 + (t - m)4 = c, khai triển sẽ được pt trùng phương 3