Hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt

Bài số 3. HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
Trong những năm gần đây , đề thi đại học về Hệ phương trình đại số thường hay ra dạng hệ có cấu trúc khá đặc biệt . Vì vậy cho nên ta phải ngiên cứu cách giải chúng .
Thông thường ta có một số phương pháp sau
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Là phương pháp chủ yếu dùng kỹ năng biến đổi hai phương trình của hệ đưa về các phương trình đơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại để thế vào phương trình khác của hệ . Ta xét một số ví dụ sau
1. Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc theo ẩn y. Khi đó ta rút x theo y hoặc y theo x thay vào phương trình còn lại .

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :

Giải
Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) cho nên từ phương trình (2) ta có :
thay vào phương trình (1) ta có :




Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :

Giải
Ta có x=y=0 là một nghiệm của hệ . Các cặp số (x;y) với
không là nghiệm của hệ .
Xét
chia hai vế phương trình cho
ta được :

Suy ra :
thay vào phương trình thứ hai ta có :
2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y



Đáp số : (x;y)=

2. Loại 2. Một phương trình của hệ đưa về dạng tích của hai phương trình bậc nhất hai ẩn . Khi đó ta dưa về giải hai hệ tương đương .

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :


Giải
Điều kiện :

Phương trình (1)

Ta thay làn lượt từng trường hợp một vào phương trình (2) .Giải ra kết quả
Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2011) . Giải hệ phương trình sau :

Hướng dẫn
Từ (2) ta có :

xy=1; từ (1) suy ra :
. Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1).
Với :





Xét : xy=1 . Đã giải ở trên
Với : x=2y , thay vào

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),

Ví dụ 3. Giải hệ sau :

Giải
Điều kiện :
.
(1)
. Suy ra hệ trở thành :


Ví dụ 4. Giải hệ phương trình :

Giải
Điều kiện : x>0;
.
Ta có :
. Suy ra :
Với y=3 ; ta có :
( loại )
Với
ta có :
. Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;8 )
* Chú ý : Trong một số bài toán đôi khi ta phải cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ sau đó mới xuất hiện phương trình dạng tích .
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau :

Hướng dẫn :
Ta sử dụng hằng đẳng thức :

Hệ đã cho
. Ta cộng vế với vế hai phương trình ta được :


Hệ đã cho
. Học sinh giải tiếp .
Ví dụ 6. ( ĐH-KD-2008 ) .Giải hệ phương trình sau :

Hướng dẫn
Hệ viết lại :
.
Học sinh giải tiếp . Đáp số : (x;y)=(5;2)

Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc hai theo một ẩn chẳng hạn x là ẩn . Khi đó ta coi y là tham số .

Ví dụ 1. Giải hệ sau ;

Hướng dẫn :
Coi phương trình (2) là phương trình theo ẩn y ta có :

Giải theo y ta có :
. Thay lần lượt hai trường hợp vào phương trình (1) ta sẽ tìm được nghiệm của hệ .
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau :
.
Hướng dẫn :
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta có :


. Thay từng trường hợp một vào phương trình (1) ta tìm được nghiệm của hệ .

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ .
* Quan trọng là học sinh phải nhanh trí phát hiện ra ẩn phụ : u=f(x;y) và v=g(x;y) trong hai phương trình của hệ , hoặc sau khi biến đổi để phát hiện ra u và v.
Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chia các vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các phương trình của hệ để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt ẩn phụ .
Việc phát hiện ẩn phụ nhanh hay