Hai đề thi Đại học và bài giải (Đề 3 và 4)

ĐỀ THI ĐẠI HỌC SỐ 4

CÂU I:
Cho hàm số:

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m=0
2.Chứng minh rằng với mọi
,đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3)
và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3,3)
CÂU II:
1.Giải bất phương trình :

2. Giải phương trình:

3.Cho tam thức bậc hai:

Chứng minh rằng với mọi giá tṛi của a và b, trong 3 số
có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng

CÂU III:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:


CÂU IV:
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ với cạnh bằng a.Giả sử M và N lần lượt là các trung điểm của BC và DD’.
1.Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (A’BD)
2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a
CÂU V:
1.Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau.Hỏi trong các số đã thiết lập được,có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
2.Tìm họ nguyên hàm của hàm số :

ĐÁP ÁN
CÂU I:
Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm).
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m= 0.
y = x4 – 10x2 + 9
TXD: D = R







điểm uốn

BBT:


Đồ thị :
Cho




2) Chứng minh rằng với

, (Cm) luôn luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm
(-3,3) và 2 điểm nằm ngoài (-3,3).
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox.

(1)
Đặt

Phương trình trở thành:

(2)
Ta có:




0 < t1 < t2

(1) có 4 nghiệm phân biệt


Đặt f(t) =

Ta có: af(9)=



Vậy (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm
và 2 điểm
.
CÂU II:
1) Giải bất phương trình:

Điều kiện:

Ta có: Bất phương trình


(*)
Xét x =0: Hiển nhiên (*) đúng.
Vậy x =0 là nghiệm.
Xét
: Khi đó (*) trở thành:




(loại)
Xét
khi đó (*) trở thành:


.
Tóm lại nghiệm của bất phương trình là:
.
2) Giải phương trình:

Đặt:

Hiển nhiên u, v>0,
và
.
Khi đó phương trình trở thành:

(*)
Nếu u > v th́

Do đó: VT=

VP = v-u < 0
Suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu u < v thì

Do đó:
VT =

VP = v – u > 0
Suy ra phương trình vô nghiệm.
Vậy: (*)

Nghĩa là:


Tóm lại nghiệm của phương trình là:
x = -1, x= -2
3) Cho f(x)=x2 + ax + b. Chứng minh trong 3 số | f(0) |, | f(1) |, | f(-1) | có ít nhất 1 số lớn hơn hay bằng
.
Dùng phương pháp chứng minh phản chứng:
Giả sử cả 3 số
đều nhỏ hơn
nghĩa là:



(2) cộng (3) ta được : -1 < 2 + 2b < 1

. Mâu thuẫn với (1).
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số
lớn hơn hay bằng
.
CÂU III:
Chứng minh rằng trong mọi
ABC ta luôn có:
tg
+ tg
+ tg
=
(1)
Ta có:


=