GTLN-GTNN của hàm lượng giac

CHUYÊN ĐỀ 7

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.

-Ta chứng minh một Bổ đề : Xác định điều kiện của a,b,c để phương trình:

(1) có nghiệm.
.Điều kiện i) :

.Điều kiện ii) :



Khi đó : (1)

Do
, nên :

Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm là :

Ta vận dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:
Bài 1-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
. (1)
Giải.
-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do

.Khi đó :



Phương trình (*) có nghiệm khi :



-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞



f(y)
 + 0 - 0 +


Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay :
và


-----------------------
Bài 2-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do

.Khi đó :




Phương trình (*) có nghiệm khi :



-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞



f(y)
 + 0 - 0 +


Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay :
và



-----------------------

Bài 3-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do

.Khi đó :




Phương trình (*) có nghiệm khi :



-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞



f(y)
 + 0 - 0 +


Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay :
và

-------------------
Bài 4-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
-Xét biểu thức :
, nên y xác định với mọi x ((R.
-Khi đó :



Phương trình (*) có nghiệm khi :

-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 4 số :


Ta có :



-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞



f(y)
 + 0 - 0 +


Tập giá trị của y là :

Vậy :
và
.
--------------------------

Bài 5-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do

.Khi đó :



Phương trình (*) có nghiệm khi :

-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞



f(y)
 + 0 - 0 +


Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay :
và


-----------------------

Bài 6-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
.(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do
(do sinx, cosx không đồng thời bằng 1)
.Khi đó :



Phương trình (*) có nghiệm khi :

-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞



f(y)
 + 0 - 0 +


Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay :
và


-----------------------
Phần 2: Sử dụng bất đẳng thức vào tính toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

-Ta nhắc lại một số bất đẳng thức liên quan:
1-Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương :

2-Bất đẳng thức Svasơ - Bunhiakopsky :
a).Cho 4 số thực :

-Đẳng thức xảy ra khi :

b).Cho 6 số thực :
.
-Đẳng thức xảy ra khi :


------------

Bài 7-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

.(1)
Giải.
-Biến đổi tương đương :



-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 4 số :