Giải phương trình bậc 4 ở lớp 8

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4:

Dụng ý của ta là phân tích đa thức x4 + ax3 + bx2 +cx + d (1) thành hai nhân tử bậc hai.
Dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau:
f(x) =

f(x) =
(2)
Tam thức trong dấu móc vuông có dạng: Ax2 + Bx + C
Ax2 + Bx + C có thể viết dưới dạng: Ax2 + Bx + C = (Px + Q)2 (3)
Với P2 = A; 2PQ = B; Q2 = C
Khi và chỉ khi B2 - 4AC = 0 hay 4AC - B2 = 0
Ta có:


Đây là phương trình bậc ba đối với h nên phải có ít nhất một nghiệm thực.
Giả sử nghiệm đó là h = t. (Bấm máy tính tay).
Thế thì (2) được viết dưới dạng:
f(x) =
(4)
Vậy:
f(x) =
(4)
Từ đó:

hoặc

Giải hai phương trình bậc hai này ta được tập hợp nghiệm của (1):





Ví dụ 1:

Giải phương trình: x4 – x3 - 7x2 + x + 6 = 0
Giải:
Ta có: a = -1; b = -7; c = 1; d = 6 =>

Dựa vào công thức (3) ta xác định được h:


Lúc này:
;
;


tức h3 + 7h2 - 25h - 175 = 0
Ta tìm đuợc một nghiệm thực h của phương trình này là h = t = 5. (Bấm máy tính tay)
Dựa vào (3) và với h = t = 5, a = -1, b = -7, c = l, d = 6 thì tính được

;
;
=> Chọn:
;

Phương trình đã cho sẽ được diễn đạt theo (4) là:






Thì được tập nghiệm của phương trình đã cho là:
.
Ví dụ 2:
Giải phương trình: x4 +2x3 – 4x – 4 = 0
Cách 1: Như trên:
Ta có: a = 2, b = 0, c = -4, d = -4 =>
;
;
.
Dựa vào công thức (3) ta xác định được h:




Lúc này:
;
;

Dựa vào (3) và với h = t = 0, a = 2, b = 0, c = -4, d = -4 thì tính được

;
;
=> Chọn:
;

Phương trình đã cho sẽ được diễn đạt theo (4) là:






Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:
.
Cách 2: Như sau:

x4 +2x3 – 4x – 4 = 0




Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:
.