GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 12 NĂM 2010 - NAM ĐỊNH

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH NĂM 2010
A. Trắc nghiệm: 1-B; 2-A; 3-D; 4-C
B. Tự luận:
Câu I:
1) Có









*KL: Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
;

2) Có
. Đặt
, ta thu được hệ:


* Nếu
hệ trở thành
vô nghiệm. Khi
, hệ

+) Đặt
, ta được pt:
(loại)
+ Với
thì
, pt (2) trở thành
vô nghiệm; Với
thì
, pt (2) trở thành

. Vậy có

*KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất

* Cách khác:
+)Có



.
*KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất

3) * ĐK:
. Ta có



* KL: Vậy bpt đã cho có nghiệm

* Cách khác:
+) * ĐK:
. Đặt
. Thu được bpt:


. * KL: Vậy bpt đã cho có nghiệm

Câu II:
1) +) Ta có
xác định và liên tục trên R và
xác định và liên tục trên R
a) Hàm số đạt cực tiểu tại
khi và chỉ khi

*KL: Vậy
thì hàm số đạt cực tiểu tại
.
* Cách khác:
+) Hàm số đạt cực tiểu tại
thì

+) Khi
, hàm số trở thành
. Ta có
xác định và liên tục trên R
.
BBT: .....Từ BBT ta thấy
t/m ycbt. *KL: Vậy
thì hàm số đạt cực tiểu tại
.
b) * Khi
, hàm số trở thành

+) Đường thẳng d đi qua A với hệ số góc k có phương trình:

+) Đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: (I)

+) Có (I)


+) Với x = 0 thì k = 0, d có pt: y = 2;
+) Với x =
thì k =
, d có pt:
; Với x =
thì k =
, d có pt:
.
* KL: Vậy có ba đường thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (C) là: y = 2;
;
.
* Cách khác: Gọi

. Ta có

+) T/t của
tại
có pt:

. Đ/t
qua A(0; 2) khi và chỉ khi


+) Với x0 = 0 thì
có pt: y = ... = 2;
+) Với x =
thì
có pt:
;
+) Với x =
thì
có pt:
.
* KL: Vậy có ba đường thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (C) là: y = 2;
;
.
2) +) Đặt
và

Nên




. KL: Vậy

Câu III:
1) +) (C):
, nên (C) có tâm I(1; - 1) và bán kính R = 2.
+) Do A và B là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến MA, MB của (C) kẻ từ M(-2; 1). Nên
và
. Vậy A và B nằm trên đường tròn (C’) đường kính IM và
.
+) Đường tròn (C’) đường kính IM, nên nó có tâm
và bán kính
.
. Nên (C’) có pt:
. Khi đó tọa độ 2 điểm A và B thỏa mãn hệ:


KL: vậy đường thảng AB có pt/tr tổng quát là:
.
2) + (ABC) có phương trình theo đoạn chắn là:
.Do M thuộc (ABC) nên

+) Từ
suy ra
. Mà N thuộc tia OM nên:

+) Từ (2) ta có:
. Nên (3)

+) Từ (1) và (4) suy ra:




+) Vậy tọa độ điểm N thỏa mãn pt:
là pt của một mặt cầu cố định tâm
và bán kính
. Chứng tỏ điểm N nằm trên một mặt cầu cố định.
Câu IV:
+) Từ
là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABCD) và
nên
vuông tại A. Vậy góc giữa SB và (ABCD) là góc
, nên SA = AB.tan
. Do

và M ở giữa S và A
+) Ta có

+) Ta chứng minh bổ đề : Cho hình chóp S.ABC, các điểm H, I, K tương ứng thuộc các cạnh SA, SB, SC thì
.
Thậy vậy: Gọi E, F thao thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và H trên (SBC) thì S, E, F thẳng hàng và AE//HF
. Khi đó:
(đpcm)
*