Giải 2 bài toán vui thời cổ.doc

2 Bài toán vui thời cổ

Bài 1/ Người Trung quốc ( Khổng tử và Mạnh tử chia bánh )
Khổng tử , nhà triết học lớn của Trung Quốc, chuẩn bị một chiếc bánh sinh nhật cho con trai sinh đôi của một người bạn. Ông biết rằng trong 2 bé: một thích sô cô la, bé kia thích vani. Khổng Tử, đã làm bánh với hình biểu tượng âm dương cổ đại của hai thái cực đối lập “âm-dương” về vũ trụ. Ông biết điều này phải đáp ứng các trẻ em vì các biểu tượng về mặt hình học là một vòng tròn chia thành hai phần bằng nhau: một phần của chiếc bánh là sô cô la, nửa kia là vani. Khổng Tử cắt bánh thành hai miếng dọc theo đường cong chia hai hương vị. Khi các em đến và nhìn vào chiếc bánh, chung kêu lên”
"Ôi, Thưa tiên sinh, chúng chau có bốn ngưới chứ không chỉ hai. Hai trong số chúng ta thích sô cô la, và hai thích vani." 
"Được rồi, ta đã có một cách để cắt bánh thành bốn miếng có cùng kích thước và hình dạng sử dụng chỉ hơn một cắt theo chiều dọc.- Khổng Tử đáp
Theo bạn Khổng tử tìm ra cách như thế nào cho số nhát cắt ít nhất mà bốn bạn vẫn hài lòng." (Tạp chí DISCOVER)

Gợi ý giải pháp :

Hai nửa “âm-dương” theo Khổng tử được vẽ trên cơ sở 4 đường tròn nhỏ (bán kình r) tiếp xúc trong với 1 đường tròn lớn (R) với r = 1/2R
Hình bên
Đây là 1 giải pháp tốt thoả mãn cho 4 bạn nhỏ để các miến bánh cùng kích thước và hình dạng và chất có bên trong.
Bạn có thể vẽ mô hình này trên một mảnh giấy, cắt ra từng mảnh, và chồng chúng lên nhau. Nó cũng có thể cho các bạn biết cách phân chia các âm và dương thành bốn mảnh với diện tích như nhau . hình bên

Cách thứ 2: Tương truyền rằng: sau khi biết ý định của Khổng tử định cắt bằng 1 nhát cong như trên thì có 1 bé con ( họ Mạnh – sau thành danh lấy tên là Mạnh tử) đã “mách nước” cho 1 cách cắt đơn giản hơn. Cách đó là:
Chỉ việc lật nghiêng chiếc bánh và cắt thêm 1 nhát theo chiều ngang cũng được 4 phần thỏa mãn yêu cầu.

Cậu bé con thông minh ấy sau là 1 học trò giỏi của Khổng tử

Bài 2 . Chia đôi hình tròn của người Sirya ( Quê hương của Euclid)
Có 2 người Syria trung thực gom tiền tiết kiệm chung nhau mua một hòn đá mài khá lớn và rất nặng, nhưng nhà của họ cách xa nhau vài dặm nên họ đã thỏa thuận rằng : Người lớn tuổi được giữ và dùng đá mài trước cho đến khi đá mòn giảm chỉ một nửa, sau đó nó phải được giao cho người kia. ( ½ trong chuyện này hiểu là ½ khối lượng, tương đương ½ diện tich bề mắt sử dụng)
Các kích thước của hòn đá mài ban đầu chính xác là đường kính = 22 inch, với một lỗ hình nón cụt ở giữa trục có đường kính 3 và 1/7 inch như thể hiện trong hình.
Họ loay hoay tính xem đâu là đường kính của viên đá khi được trao cho các chủ sở hữu thứ hai? (Đố vui toán học của Sam Loyd, Edited by Martin Gardner)

Giải pháp :
a/ Một người bạn thân của cả 2 bên mách rằng : Cứ vạch thẳng 1 đường bán kính rồi chia đôi là đơn giản nhất !
b/ Hai người mua đá mài có hiểu biêt về toán học nên không chịu. Vì họ biết diện tích hình tròn tỷ lệ thuận với bình phương của đường kính
 Nếu chúng tôi vẽ một hình vuông, ABCD, trên một vòng tròn kích thước của đá mài ban đầu, sau đó vòng tròn E, vẽ bên trong vuông đó, sẽ có chính xác một nửa diện tích của vòng tròn lớn hơn.
Khu vực một nửa số lỗ của đá mài bây giờ phải được thêm vào vòng tròn E. Để làm điều này, chúng tôi ghi một hình vuông vào lỗ, và trong H.vuông này, chúng tôi ghi một vòng tròn. Do đó vòng tròn nhỏ hơn sẽ là một nửa diện tích của lỗ. Chúng ta đặt các vòng tròn nhỏ tại G để đường kính của nó hình thành bên của một tam giác vuông, cơ sở đó là đường kính của vòng tròn E.
C/ Các học trò của Euclid nghe chuyện này phải phục 2 người dân Sirya kia đã đưa ra cách giải chính xác đến nỗi cả cái lỗ trục cũng chia đôi. Tuy nhiên để chứng minh tính chính xác , ngày nay chúng ta hãy xem nhé:
Hình bên là cách chia đôi hình tròn của 2 người Sirya.

Theo đó ta có
. Nếu tính diện tich
Sx =1/2 So thì