Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT



GTLN : Giá trị lớn nhất
GTNN : Giá trị nhỏ nhất
ĐH : Đề thi Đại học
CĐ : Đề thi Cao đẳng
GD – ĐT : Sở giáo dục và đào tạo.

















LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán có mặt ở hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học. Không những thế nó còn là bài toán hay và khó nhất trong các đề thi.
Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó. Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó.
Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi.Một trong những phương pháp khá hiệu quả là dung đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số cố định. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thong qua ví dụ để học sinh rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải riêng cho mình.
Vì những lí do trên tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN.



NỘI DUNG

1 . Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến.
Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát.


Thí dụ 1. ( CĐ Khối A, B – 2008 ). Cho
là số thực thỏa mãn
.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.




Hoạt động khám phá:
Từ giả thiết
. Có thể đưa bài toán về một ẩn không?
Ta nghĩ tới hằng đẳng thức
.
Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện
để sử dụng giả thiết.
Biến đổi biểu thức P và thế vào
ta có :


Từ giả thiết
.
Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa P về hàm một biến số nếu ta đặt :
.
Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức:
.
Lời giải

Ta có :


Ta có :
, vì thế sau khi đặt
thì:

Ta có
.
Xét hàm số
với
.
Ta có
.


Ta có bảng biến thiên như sau 

t
-2 1 2

P’(t)
 + 0 -

P(t)




-7 1

Vậy

khi




Thí dụ 2. ( ĐH Khối D – 2009 )Cho
và
.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :




Hoạt động khám phá :
Từ giả thiết
có thể đưa bài toán về một ẩn không ?
Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện
để sử dụng giả thiết.
Chú ý các hằng đẳng thức :


Sau khi khai triển và thế vào
, ta có :

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta đặt :

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức :
.
Lời giải.
Ta có :







Đặt
. Do
nên

Xét hàm số
với
.
Ta có
.

.
Bảng biến thiên


t
0



 f’(t)
 - 0 +




f(t)
12








Vậy :

khi
hoặc


khi
.

Thí dụ 3 ( ĐH Khối B – 2009). Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

.
với
là các số thỏa mãn điều kiện :
.