Đổi biến để chứng minh bất đẳng thức

Cao Văn Dũng
Lớp K50 SP toán - khoa Sư Phạm – ĐHQGHN
§c: 57514 Lê Duẩn - Chî Ea tam--Ph­êng EA Tam-TP BMT-§AKLAK
Phone : 0989966850


Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức





Đôi khi chứng minh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứng minh BĐT, có nhiều BĐT đề ra phức tạp làm cho ta cảm giá rối, nhưng qua việc đưa về biến mới thì bài toán trở nên dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến để chứng minh BĐT được dễ dàng hơn.
Sau đây là một số ví dụ :
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:


Ta đặt
nên BĐT


(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra


VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
. CMR:


Đặt
với
từ giả thiết


Và BĐT cần CM
CM BĐT

mặt khác ta có BĐT sau:

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra


VD3: Cho x, y, z >0 thoả
. CMR

Từ giả thiết ta có thể đặt:
với a,b,c >0
Nên BĐT
CM




(đúng)

Dấu “=” xảy ra

VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR

Ta đặt
với
nên BĐT
CM BĐT

mặt khác ta có

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra


VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR:

Do
nên ta có thể đặt
với

Nên BĐT có thể viết lại




(đã CM ở VD4)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra


VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
CMR :

Ta đặt
với
và do
nên

Nên BĐT

mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:



Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra


VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:
.
CMR:


Từ

Ta đặt
với



Nên BĐT cần CM
CM BĐT

Mặt khác ta có:





Nên

Vậy BĐT luôn đúng
Dấu “=” xảy ra


Sau đây là một số bài tập để luyện tập:
Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:
1,

2,

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
. CMR:
1,

2,


Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn
.
CMR:


Bài 4: Cho
thoả mãn
. CMR:


Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:
1,
với S là diện tich tam giác
2,


Gợi ý: Đặt