Dethi_Toan_Olympic_Năm 2003


Năm 2003

Ngày thi thứ nhất ( Tokyo, 13/07/2003)
Câu 1: Cho A là một tập hợp con của tập hợp S= {1,2,3,..., 1 000 000} gồm 101 phần tử. Chứng minh rằng tồn tại 100 phần tử ti (i=1,2,...100) của S sao cho các tập hợp  Ai = {ti + x | x thuộc A}, i=1,2,...100, là đôi một rời nhau.
Câu 2: Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho


là một số nguyên dương.
Câu 3: Cho một hình lục giác lồi có tính chất sau: Với bất kỳ cặp cạnh đối diện nào, khoảng cách giữa hai trung điểm của chúng đều bằng 
 tổng độ dài hai cạnh đó. Chứng minh rằng tất cả các góc của lục giác đó bằng nhau.
Thời gian làm bài: 4h30` , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm.



Ngày thi thứ hai (Tokyo, 14/07/2003)
Câu 4: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q , R lần lượt là chân của các đường vuông góc hạ từ đỉnh D xuống các đường thẳng BC, CA và AB. Chứng minh rằng PQ=QR khi và chỉ khi các đường phân giác của hai góc ABC và ADC gặp nhau trên cạnh AC
Câu 5: Cho n là một số nguyên dương và 
là các số thực thoả mãn 

a) Chứng minh rằng                           

b) Chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
là một cấp số cộng
Câu 6: Cho p là một số nguyên tố, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên tố q, sao cho với mọi số nguyên n, 
 không chia hết cho q.
Thời gian làm bài: 4h30` , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm.