Đề và đáp án Môn Toán 10 Olimpic 30/4 năm 2007

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾ

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút


Chú ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm trên 01 tờ giấy riêng biệt

Câu 1 (4 điểm).
Giải hệ phương trình:



Câu 2 (4 điểm).
Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn điều kiện
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

Câu 3 (4 điểm).
Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa điều kiện:

.
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Câu 4 (4 điểm).
Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các điểm sao cho:

;
;

;
.
Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.

Câu 5 (4 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.

-------------------HẾT---------------------
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Đáp án Toán 10


 NỘI DUNG
ĐIỂM

Câu 1:
Giải hệ phương trình:





* Điều kiện: x + y > 0
0,5


* (1) ( (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y)
( [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0
( (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0
( (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0
( (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0
1






 (

0,5


Từ (3) ( x + y = 4, thế vào (2) ta được:
x2 + x – 4 = 2 ( x2 + x – 6 = 0 (
.
1


(4) vô nghiệm vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0.
0,5


Vậy hệ có hai nghiệm là (–3; 7); (2; 2)
0,5



Đáp án Toán 10


 NỘI DUNG
ĐIỂM

Câu 2:
Cho các số thực
,
,
,
thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.



Viết lại
.
0,5


Đặt
,
,
. Ta có
. Mà
nên
. Đẳng thức xảy ra khi
là hình chiếu của
trên
.
1,5


Suy ra
.

1


Vậy
đạt được chẳng hạn khi
.
1



Đáp án Toán 10


 NỘI DUNG
ĐIỂM

Câu 3:
Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa điều kiện :
sin
+ sin
= 2cos
.
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.



Ta có: sin(
) + sin(
) = 2 sin(
) cos(
) .
1
sin(
) > 0; cos(
) > 0
0



<


cos(
)
cos(
)

cos(
)
cos(
)
1


Từ sin(
) + sin(
) = 2cos(
) và cos(
)>0
Suy ra : 2sin(
)cos(
) >0
Hay cos(
)>0.
1


Kết hợp với sin(
)
1, ta có sin(
)cos(
)
cos(
)
Do đó: 2 sin(
)cos(
)
2cos(
)
2cos(
)
1


Vì vậy nếu sin(
) + sin(
) = 2cos(
) thì phải có:


A = B =
.
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
1



Đáp án Toán 10


 NỘI DUNG
ĐIỂM

Câu 4:
Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các điểm sao cho

;


;

Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.




Giả sử có điểm M thỏa bài toán. Gọi G là điểm sao cho

.
0,5


Từ
, ta có
.
Tương tự
,
,
.
1


Do đó