Đề và đáp án khối B và D (với nhiều cách giải độc đáo)

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi : TOÁN, khối B
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = 4x3 - 6x2 + 1 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9).
Câu II (2 điểm). 1. Giải phương trình

2. Giải hệ phương trình

Câu III (2 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2. Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z- 3= 0 sao cho MA=MB=MC.
Câu IV (2 điểm). 1. Tính tích phân

2. Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

PHẦN RIÊNG ------ Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu : V.a hoặc V.b -------
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)
1. Chứng minh rằng
(n, k là các số nguyên dương, k ≤ n,
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x-y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x + 3y - 1 = 0.
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải bất phương trình
< 0
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB =
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.















BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I. 1. MXĐ : R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0 ( x = 0 hay x = 1

BBT :
x
(( 0 1 +(

y`
 + 0 ( 0 +

y
 1 +(

(( (1



2. Tiếp tuyến qua M ((1, (9) có dạng y = k(x + 1) – 9
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9
( 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ( 2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1)
( x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x ( x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0
( x = –1 hay x =
; y’((1) = 24; y’(
) =

Vậy pt các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y =
x

Câu II. 1. cosx = 0 : phương trình thành : (1 = 0 vô lý
cos ( 0 : chia hai vế cho cos3x ta có :


(
( tgx = 1 hay tgx = (1 hay tgx =

( x =
hay x =
hay x =
(k ( Z)
2.
(

Thay (2) vào (1) (

(
( x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 ( x = 0 hay x = (4
x = 0 ( (1) : vô nghiệm; x = (4 ( y =

Vậy hệ ( (x = (4; y =
)
Câu III. 1.
= (2, (3, (1);
= ((2, (1, (1)(

Phương trình mp (ABC) : 1(x – 0) + 2(y – 1)–4(z–2) = 0 ( x + 2y – 4z + 6 = 0
2. Gọi M (x, y, z). MA = MB = MC ( MA = MB và MA = MC
( (x – 0)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2
và (x – 0)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = (x + 2)2 + (y – 0)2 + (z – 1)2
( 4x – 6y – 2z – 4 = 0 (1) và 4x + 2y + 2z = 0 (2)
Mà M ( (() : 2x + 2y + z – 3 = 0. Từ (1), (2), (3) ( M (2, 3, (7)
Câu IV. 1. Đặt t = sinx + cosx ( t2 = 1 + sin2x
Ta có : dt = (cosx – sinx)dx
( I =
=
=
=

2. Đặt x = cos(; y = sin( (0 ( ( < 2()
P =
=

( (P – 6)sin2( - (P + 1)cos2( = 1 – 2P (1)
(1) có nghiệm ( (P – 6)2 + (P + 1)2 ( (1 – 2P)2 ( P2 + 3P – 18 ( 0 ( (6 ( P ( 3
( max P = 3 và min P = (6.
Cách 2: Đặt x = t.y thay vào khảo sát hàm 1 biến t
Câu V.a.
1.
=
=

2. Phương trình d qua H ((1, (1) và vuông góc với (D): x – y + 2 = 0 có dạng
1(x + 1) + 1(y + 1) = 0
Giao điểm I của (d) và (D) là nghiệm hệ phương trình:
( I ((2, 0)
Gọi K là điểm đối xứng của H qua (D) thì K ((3, 1)
AC qua K và vuông góc đường cao: 4x + 3y – 1 = 0
Phương trình AC : 3(x + 3) – 4(y – 1) = 0 ( 3x – 4y + 13 = 0
Tọa độ A là nghiệm hệ phương trình :
( A (5, 7)
CH qua H và có PVT
= 2(3, 4)
Phương trình CH : 3(x + 1) + 4(y + 1) = 0
Tọa độ C là nghiệm hệ phương trình :
( C

Câu V.b.
1.
< 0 (
(

(
> 0 ( (4 < x < (3 hay x > 8
2. Tam giác SMA là tam giác đều cạnh a, nên ta có:

Diện tích tứ giác BNDM
S(BNDM)

V(S.BNDM)

Kẻ thêm MG //ND, ta có ND=

và ta có:

SG =

( cos (SM,ND)

Cách khác : Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0, 0); S
, D (0, 2a, 0), B(2a, 0, 0), M(a,0,0), C(2a, 2a, 0); N (2a, a, 0) (
;







ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi : TOÁN, khối D

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I (1;2) với hệ số góc k (k > - 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
2. Giải hệ phương trình

Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu IV (2 điểm)
1. Tính tích phân

2. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức


PHẦN RIÊNG ------ Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu : V.a hoặc V.b -------
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)
1. Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x và điểm A(1; 4). Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc
= 900. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải bất phương trình

2. Cho lăng trụ đứng ABC.A`B`C` có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A`B`C` và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B`C.
------------

BÀI GIẢI GỢI Ý

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
1. D = R
y` = 3x2 - 6x = 3x(x - 2), y` = 0 ( x = 0, x = 2
y" = 6x - 6, y" = 0 ( x = 1
x - ( 0 1 2 +(
y` + 0 - - 0 +
y" - - 0 + +
y 4 2 0 + (
- (
2. d : y - 2 = k(x - 1) ( y = kx - k + 2
Pthđgđ : x3 - 3x2 + 4 = kx - k + 2 ( x3 - 3x2 - kx + k + 2 = 0
( (x - 1)(x2 - 2x - k - 2) = 0 ( x = 1 ( g(x) = x2 - 2x - k - 2 = 0
Vì (` > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > - 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm.
Câu II (2 điểm)
1. Pt ( 4sinxcos2x + 2sinxcosx - 1 - 2cosx = 0 ( 2cosx(2sinxcosx - 1) + (2sinxcosx - 1) = 0
( (2sinxcosx - 1)(2cosx + 1) = 0 ( sin2x = 1 ( cosx =

(

2. ĐK: x ≥ 1 và y ≥ 0

( (x + y)(x - 2y - 1) = 0 ( x = - y ( x = 2y + 1
* Th.1 : x = - y . Vì y ≥ 0 nên x ≤ 0 (loại vì x ≥ 1)
* Th.2 : x = 2y + 1 thế vào pt
ta được :

(
( y = - 1 (loại) ( y = 2.
Vậy hệ có 1 nghiệm : x = 5; y = 2.

Câu III (2 điểm)
1. Pt mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
(S) đi qua A, B, C, D ( 18 - 6a - 6b + d = 0 và 18 - 6a - 6c + d = 0 và 18 - 6b - 6c + d = 0 và 27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 (
.
Vậy pt (S) : x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z = 0
2. mp (ABC) đi qua A và có VTPT là
= (-9;-9;-9) nên có pt x + y + z - 6 = 0
d đi qua tâm
của (S) và ( với mp (ABC) có pt : x =
+ t, y =
+ t, z =
+ t.
Tâm đường tròn ngoại tiếp (ABC chính là giao điểm H của d và mp(ABC) ( H (2; 2; 2).

Câu IV (2 điểm)
1. Đặt
,
chọn v =


=

2. Đặt x = tgu, y = tgv với u, v
.

=
=

=

Pmax =

và v = 0 ( x = 1 và y = 0
Pmin =
u = 0 và
( x = 0 và y = 1
Cách 2 : đặt x-y = m ; xy = p
Cách khác :
P =

=
, mà

nên : Pmax
khi x = 1 ; y = 0 và Pmin =
khi x = 0 ; y = 1.

PHẦN RIÊNG ------ Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu : V.a hoặc V.b -------
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)
1.

x = 1 :

x = - 1 :

(1) - (2) :
( n = 6.
2. B, C ( (P) (
(b ≠ c, b ≠ 4, c ≠ 4)



(

BC qua
có 1 vtcp :
.
Nên có pt BC :


BC luôn qua điểm cố định thoả : 4x + 17y = 0 và
( x = 17 và y = - 4.
Vậy BC luôn qua I (17, -4) cố định.
Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Bpt ( 0 <
(

(

2. Thể tích V=Sh=
(đvtt)
Gọi N là trung điểm BB/
Ta có : d(B’C, AM) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN)) (vì N là trung điểm BB’)
= BH với H là hình chiếu của B lên mp (AMN)
Ta có :