ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN _ HSG ĐBSCL _XVI - 2009¬_Long An_ Toán

SỞ GIÁO DỤC–ĐT LONG AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN SÔNG CỬU LONG NH 2008-2009

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
--------------------------------------------------------------------------
Câu1 : (3 điểm)
Giải phương trình:



Câu 2 : (3 điểm)
Trên đường tròn tâm O, bán kính R lấy sáu điểm D, E, F, G, H, K theo thứ tự đó sao cho
DE = FG = HK = R. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, GH và KD.
Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Câu3 : (2 điểm)
Giải phương trình sau trong tập hợp các số nguyên dương :


Câu 4 : (3 điểm)
Cho dãy số
xác định như sau :
,
(n = 0,1, 2,…)
Chứng minh rằng dãy số
có giới hạn hữu hạn khi
và tìm giới hạn của nó.

Câu 5 : (3 điểm)
Cho đa giác đều A1 A2 A3 … A6n (n nguyên dương) nội tiếp trong đường tròn bán kính R.
Xét các đa giác lồi có các đỉnh là các điểm trong 6n điểm A1, A2, … , A6n và các cạnh
của đa giác đều khác R. Biết rằng trong số các đa giác ấy số các đa giác với số cạnh lớn
nhất bằng 32768, hãy tìm n.

Câu 6 : (3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số liên tục
thỏa mãn điều kiện:



Câu 7 : (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip (E):
và đường thẳng (
): x + 2y – 4 = 0. Xét điểm M chuyển động trên
. Các tiếp tuyến của (E) kẻ từ M tiếp xúc với (E) tại A và B. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên
thì đường thẳng AB luôn qua một điểm cố định. Xác định điểm cố định ấy.

SỞ GIÁO DỤC–ĐT LONG AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN SÔNG CỬU LONG NH 2008-2009

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
--------------------------------------------------------------------------------------------

Câu1 : (3 điểm)
Giải phương trình:


Giải:

Đặt f(t) = 2t3 + 3t2 -18 và g(t) = t3 + t thì hệ phương trình được viết lại:

Giả sử x = max(x, y, z) thì
(do hàm số g đồng biến ) (1điểm)


(1 điểm)
Từ đó suy ra:
. Thế vào hệ phương trình ta được
(0,5 điểm)
Thử lại ta thấy: x = y = z = 2 thoả hệ phương trình. (0,5 điểm)
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 2

Câu 2 : (3 điểm)
Trên đường tròn tâm O, bán kính R lấy sáu điểm D, E, F, G, H, K theo thứ tự đó sao cho
DE = FG = HK = R. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, GH và KD.
Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Giải:

Đặt:
thì:

.
Do
, nên điểm O thuộc miền trong của lục giác
DEFGHK. Từ đó suy ra:
. (0,5 điểm)
Áp dụng định lý hàm số cosin, ta được:


(1 điểm)
Suy ra:


=
(1 điểm)
Do đó PM = NP và chứng minh tương tự ta được NP = MN.
Vì vậy tam giác MNP là tam giác đều. (0,5 điểm)

Câu3 : (2 điểm)
Giải phương trình sau trong tập hợp các số nguyên dương :



Giải:

Từ phương trình, ta suy ra : x > 2009 và y > 2009

(1)





(*) (0,5điểm)
Nếu 41x không là số chính phương thì
là số vô tỉ. Khi đó (*) không thỏa. Do đó 41x là số chínhphương, suy ra x = 41a2, với a
N*
Tương tư : y = 41b2, với b
N*. (0,5điểm)
Phương trình (1) trở thành:
(2)
Từ phương trình (2), ta suy ra: a,b > 7. Đặt : a = 7+m và b = 7+n với m,n
N*
Phươnh