ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN _ HSG ĐBSCL _XVI - 2009¬_Cao Lãnh_ Toán

SỞ GDĐT TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT TP CAO LÃNH

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ
KỲ THI HSG KV ĐBSCL LẦN THỨ 16
Môn : TOÁN HỌC

Câu 1: (3 điểm)

Giải bất phương trình:
(1)

Bài giải
Điều kiện
. Khi đó:


Giải hệ trên ta được


Câu 2: (3 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O. Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại M, AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng :
.

Bài giải:



Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên AM. Theo định lý Ta-lét, ta có


Theo giả thiết :

Vậy
(ĐPCM)
Câu 3: (2 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho 2a+1 chia hết cho b và 2b+1 chia hết cho a.

Bài giải
Giả sử a, b nguyên dương và

Suy ra k, a, b đều lẻ. Vì

Kết hợp với (1) suy ra

Với
, từ (2) ta suy ra
. Rõ ràng
thỏa mãn
và

Với
, giả sử
, ta có
. Rõ ràng
thỏa mãn
và

Với
, giả sử
, ta có
hoặc
hoặc

+ Với
, đẳng thức
trở thành
vô lý
+ Với
, ta có
. Rõ ràng
thỏa mãn điều kiện

+ Với
, ta có
(loại)
Với
lý lưận tương tự ta được
thỏa mãn điều kiện

Tóm lại : Có 5 cặp (a ,b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là


Câu 4: (3 điểm)

Tìm giới hạn của dãy
với



Bài giải
Ta có:


Vậy
.
Câu 5: (3đ)
Cho hình hộp chử nhật có độ dài ba kích thước là các số tự nhiên. Các mặt của hình hộp được sơn màu xanh. Chia hình hộp này thành các khối lập phương đơn vị bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp. Tìm các kích thước của hình hộp , biết rằng số các khối lập phương đơn vị không có mặt nào màu xanh bằng
tổng số các khối lập phương đơn vị.

Bài giải:

Giả sử độ dài 3 cạnh hình hộp chử nhật (hhcn) là
.


Từ đkbt, suy ra x
và

0,5

Vì
nên khi x
ta có

0,5

Do đó x
6, suy ra x = 3, x = 4, x = 5 hoặc x = 6.


1) Nếu x = 3 thì ( y – 2)(z – 2) = yz , điều này không thể xảy ra.
0,5

2) Nếu x = 4 , ta có 2( y – 2)(z – 2) =

(y – 6)(z – 6) = 24


Lúc đó (x,y,z)= (4,7,30) ; (4,8,18) ; (4,9,14) ; (4,10,12)
0,5

3) Nếu x = 5 , ta có 3(y – 2)(z – 2) =

(2y – 9)(2z – 9) = 45


Lúc đó (x,y,z) = (5,5,27) ; (5,6,12) ; (5,7,9)
0,5

4) Nếu x = 6 thì 4(y – 2)(z -2) = 2yz
(y -4)(z – 4) = 8. Ta có nghiệm duy nhất (6,6,8)
0,5

Tóm lại, có 8 kết quả cho 3 kích thước hhcn là: (4,7,30) ; (4,8,18) ; (4,9,14) ; (4,10,12) ; (5,5,27) ; (5,6,12) ; (5,7,9) ; (6,6,8).



Câu 6 : (3đ)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước phương trình :


có đúng một nghiệm số thực. Gọi nghiệm số thực ấy là xn. Hãy tìm
.
Bài giải:

Ta thấy
không phải là nghiệm của phương trình . Thật vậy


Nếu
Vế trái âm.
Nếu 0 < x < 1 thì
còn x + 1 > 0.
Nếu
thì
.
Xét hàm