ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN _ HSG ĐBSCL _XVI - 2009¬_Cần Thơ _ Môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
LẦN THỨ 16 – NĂM HỌC 2008 - 2009


 http://kinhhoa.violet.vn
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC

Bài 1. (Đại số – 3 điểm)
Tìm các giá trị thực của a sao cho tồn tại 5 số thực không âm
thỏa đồng thời các điều kiện


Giải:
Giả sử hệ có nghiệm không âm với mỗi giá trị nào đó của a. Khi đó


là trường hợp xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức Bouniakovski. Do đó ta có các trường hợp sau:
+ xi = 0 với i = 1,2,3,4,5. (2)
+ 4 trong 5 số xi bằng 0, số còn lại khác 0. (3)
+ Số các số khác 0 lớn hơn hoặc bằng 2. (4)
(4) không xảy ra.
(2) suy ra a = 0.
Từ (3) ta có các trường hợp










Với a = i2 với
. Hệ có nghiệm không âm là
.
Vậy các giá trị cần tìm của a là 0;1;4;9;16;25.

Bài 2. (Hình học phẳng – 3 điểm)
Cho (ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của HA, HB, HC với đường tròn ngoại tiếp (ABC. Chứng minh













Giải















+ Dễ dàng chứng minh được HA’ = 2 HA1, HB’ = 2 HB1, HC’ = 2 HC1.
+Áp dụng Erdoss ta có HA + HB + HC ( 2(HA1 + HB1 + HC1) = HA’ + HB’ + HC’.(*)
+ Xét phép nghịch đảo cực H, phương tích là 1. Khi đó: A0, B0, C0, A2, B2, C2 lần lượt là ảnh của A, B, C, A1, B1, C1.
Chứng minh được các bộ (C2, A0, B2), (B2, C0, A2), (A2, B0, C2) thẳng hàng. Khi đó, trong tam giác A2B2C2, áp dụng (*) ta có





Bài 3. (Số học – 2 điểm)
Chứng minh phương trình
vô nghiệm với x, y, z ( Z.
Chứng minh phương trình
có nghiệm với x, y, z ( Z.
Giải:
Xét theo modul 8 thì

(
(

Mà
(

Trong khi
. Do đó phương trình (1) vô nghiệm.


Xét phương trình
.
Nếu (3) có nghiệm x0, thì (2) có nghiệm x= x0, y = y0, z = x0y0.
Vậy ta chứng minh (3) có nghiệm bằng cách chỉ ra một bộ x0, y0 thỏa (3).
Thấy
có tận cùng bằng 9 nên tận cùng của
chỉ có thể là (0;9), (4;5).
Nghĩa là tận cùng của (x; y) chỉ có thể là (0;3); (0;7); (2;5); (8;5) (Do vai trò x, y là như nhau).
Bằng cách thử trực tiếp ta có một nghiệm của (3) là x = 28, y = 35.
Vậy phương trình (2) có nghiệm.


Bài 4. (Giải tích – 3 điểm)
Cho dãy số (an) bị chặn và

Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ.
Giải:

Đặt
. Ta có
bị chặn do
bị chặn.
Và
. Suy ra
hội tụ.
Gọi b =
. Ta chứng minh rằng
với

Vì
=b, với ( ( > 0, ( n0 ( N:



Vậy







Ta có


Với
với k đủ lớn
với n đủ lớn. Suy ra
.


Bài 5. (Tổ hợp – 3 điểm)
Cho 15 bài toán trắc nghiệm, đánh số từ 1 đến 15. Mỗi bài chỉ có 2 khả năng trả lời: Đúng hoặc Sai.
Có 1600 thí sinh tham gia thi, nhưng không có ai trả lời đúng 2 bài liền nhau.( Nếu xem bài làm của mỗi thí sinh tương ứng với một dãy 15 phần tử Đ, S thì không bài làm nào có dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS 2 chữ đúng kề nhau.)
Chứng minh rằng có ít nhất 2 thí sinh trả lời toàn bộ 15 bài giống hệt như nhau.
Giải:
Với giả thiết đã cho, số phần tử