ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN _ HSG ĐBSCL _XVI - 2009¬_Bạc Liêu_ Toán

SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI HSG ĐBSCL LẦN THỨ 16 - NĂM 2009

Đề thi đề nghị Môn: Toán
(Gồm 7 câu) Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM:

Câu 1) ( 3 điểm )
Giải phương trình
(1)
Ta thấy
không là nghiệm của phương trình (1). (0,5đ)
Với
,


(2) (0,5đ)
Do
nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số:
ta có:

(1đ)
Do đó (2) xãy ra khi và chỉ khi:


( do
)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
. (1đ)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Câu 2) ( 3 điểm )
Không mất tính tổng quát ta giả sử:
.
Gọi
và I là giao điểm của đường
thẳng PK với BC.
Ta chứng minh
:
Thật vậy giả sử M’ ở ngoài đoạn AC thì
:
Nên




Tương tự ta cũng chứng minh được
: (1đ)
Ta lại có:

Suy ra

(0,5đ)
Tương tự
suy ra tam giác MNM’ cân tại N, tam giác NMN’ cân tại M
(0,5đ)

mà
nên MK, NK là các phân giác trong của tam giác MNP.
(0,5đ)
Suy ra

cân tại M




Vậy MM1, NN1, PP1 đồng qui tại một điểm. (đpcm). (0,5đ)
- - - - - - - - - - - - -
Câu 3) ( 2 điểm )
Giả sử có số nguyên a để
ta có:
(0,25đ)
Suy ra
hay:
(0,5đ)
Nhưng theo định lí Fhec-ma thì:
(0,5đ)
Nên
(*) mà p là số nguyên tố dạng
nên:

(0,5đ)
Điều vô lí trên suy ra bài toán được chứng minh. (0,25đ)
- - - - - - - - - - - - -
Câu 4) ( 3 điểm )
Ta có dãy
là một dãy tăng thực sự, (0,5đ)
Thật vậy: nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho
thì do giả thiết
ta thu được
(do
) và cứ như thế ta được một dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều này không thể xãy ra vì dãy
là dãy vô hạn.
(1đ)
Do
nên theo phương pháp quy nạp ta có ngay
.
Suy ra:
(0,5đ)
Đặt
thì
(0,5đ)
Vậy

(theo nguyên lí kẹp) (0,5đ)

- - - - - - - - - - - - -
Câu 5) ( 3 điểm )
Chọn 1 cây bất kì trong hàng cây, đánh dấu là cây A. Có hai trường hợp sau xãy ra:
Trường hợp 1: Cây A không bị chặt. Khi đó xét hàng cây gồm 16 cây còn lại. Ta sẽ chặt 4 cây trong số 16 cây đó sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt. (0,5đ)
Giả sử đã chặt được 4 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 12 cây (không kể cây A). Việc phục hồi lại hàng cây là đặt 4 cây đã chặt vào 4 vị trí đã chặt, số cách làm này bằng với số cách đặt 4 cây vào 4 trong số 13 vị trí xen kẽ giữa 12 cây (kể cả 2 đầu), nên:
Số cách chặt 4 cây ở trường hợp 1 là:
(cách). (1đ)
Trường hợp 2: Cây A bị chặt. Khi đó hàng cây còn lại 16 cây. Ta sẽ chặt 3 cây trong số 16 cây còn lại sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt ( hai cây ở hai phía của cây A cũng không được chặt). (0,5đ)
Giả sử đã chặt được 3 cây thỏa yêu cầu nói trên, lúc này hàng cây còn lại 13 cây. Do hai cây ở hai phía cây A vừa chặt không được chặt nên ta xét hàng cây gồm 11 cây còn lại.
Lập luận tương tự như trường hợp 1, ta có số cách chặt cây là:
(cách).
Suy ra: số cách chặt cây thỏa yêu cầu đề bài là:
(cách). (1đ)
- - - - - - - - - - - - - -

Câu 6) ( 3 điểm )

ta có: