Đề và Đáp án HSG cấp trường Năm học 2008-2009

Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Trường Môn Toán Lớp 10
Nămhọc 2008-2009
Thời gian : 150 phút(Không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang, 05 câu)


Câu I (4 điểm)
Cho hàm số :
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.
Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt?
Câu II (3 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
Câu III (4 điểm)
1. Giải phương trình sau :

2. Giải bất phương trình sau :

Câu IV (7 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-2;3).Đường cao CH nằm trên đường thẳng: 2x+y-7=0 và đường trung tuyến BM nằm trên đường thẳng : 2x-y+1=0.
Viết phương trình các cạnh và tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Tìm vị trí của điểm H trên trục Ox sao cho : HA + HB + HC nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Câu V (2 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện :
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
.

Hết.

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm!
Hướng Dẫn Chấm Thi Học Sinh Giỏi Cấp Trường Lớp 10
Môn Toán-Năm học 2008-2009
Thang điểm: 20
Chú ý: - Hướng dẫn chấm gồm 02 trang
- Đáp án chỉ trình bày 1 cách giải.
-Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tương đương
Câu 1
( 4điểm)



+ Vẽ đồ thị hàm số

+TXĐ, tính đồng biến nghịch biến ,Bảng biến thiên
+Đồ thị đúng, đẹp
0,5
0,5


+Lập luận để vẽ và vẽ đúng đồ thị hàm

+Từ đồ thị suy ra :
PT có 4 nghiệm phân biệt
thì : 0< m2 – 4m + 3 <1









1,0



0,5

0,5


0,5

0,5

Câu 2
( 3điểm)




Đặt
ta được hệ

Giải hệ trên được
hoặc

Giải hệ
được nghiệm
hoặc

Giải hệ
được nghiệm
hoặc

Kết luận hệ có 4 nghiệm

0,5


0,5


1,0


1,0

Câu 3
(4điểm)
1
(2 điểm)



2
(2 điểm)

Đk : x> 0, đặt
Khi đó pt :



.Kết hợp đk được:

Từ đó được
. Suy ra kết luận

0,5

0,5

1,0



Biến đổi bất phương trình:




Chứng tỏ :

Suy ra bpt

Suy ra nghiệm


1,0
0,5

0,5

Câu 4
1( 5điểm)













2( 2điểm)

Phương trình cạnh AB qua A(-2;3) và vuông góc với CH có phương trình : 1(x+2) – 2(y-3) = 0
x - 2y + 8 = 0
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ:



B(2;5)
Điểm C thuộc CH nên C(x; -2x+7). Suy ra M(
)
Thay M(
) vào pt BM được x=3 nên C(3;1)
Vậy phương trình cạnh AC: 4x + y – 13 = 0
Phương trình cạnh BC : 2x + 5y – 11 = 0
Tọa độ trọng tâm G(1;3)

1,0


0,5

0,5

0,5

1,0
1,0
0,5



Do G là trọng tâm tam giác ABC nên : HA +s HB + HC = 3HG
Ta có : HA + HB + HC = 3HG
Vậy : HA + HB + HC min
3HG min

H là hình chiếu vuông góc của G trên trục Ox.
Vậy H( 1;0) và HA + HB + HC min = 9

0,5
0,5

0,5
0,5

Câu 5
( 2điểm)



Với x, y > 0, ta