Đề thi vào lớp 10 THPT Cẩm Thủy Thanh Hóa

Đáp án câu 5:
Đề: Cho x, y, z là các số thực t/m: x2 + xy + y2 = 1 -
z2 (*)
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của D = x + y + z.
Bài làm:
Cách 1:
Từ (*) ta có : 2 x2 + 2xy + 2y2 = 2 - 3z2
<=> x2 + 2xy + y2 + z2 + 2yz + 2zx = 2 - 2z2 - x2 - y2 + 2yz + 2zx
<=> (x + y +z)2 = 2 – (x – z)2 – (y – z)2 (* *)
Ta có : 2 – (x – z)2 – (y – z)2
2 , Dấu “ = “ Xảy ra khi x = y = z
Vậy từ (* *) Ta có : D2 = 2 – (x – z)2 – (y – z)2
2
=>


hay -

D


Vậy:
Dmin = -
<=> x = y = z =

Dmax =
<=> x = y = z =

Cách 2:
Từ D = x + y + z => x + y = D – z ,
nên từ (*) => xy = (x+y)2 +
z2 - 1 = (D - z)2 +
z2 - 1
Vậy x, y là nghiệm của pt: X2 – (D-z)X + [(D-z)2 +
z2 - 1 ] = 0 (1)
Pt luôn có nghiệm nên:
= (D-z)2 - 4[(D-z)2 +
z2 - 1 ]
0
<=> - 3(D-z)2 - 6z2 + 4
0
<=> 9z2 – 6Dz + 3D2 - 4
0 ta xem là BPT ẩn z và vì luôn có nghiệm
( nếu 9z2 – 6Dz + 3D2 - 4 = 0 vô nghiệm, thì 9z2 – 6Dz + 3D2 - 4 > 0
z )
Nên pt : 9z2 – 6Dz + 3D2 - 4 = 0 luôn có nghiệm
<=>
= 9D2 – 9(3D2 – 4)
0 hay D2
2 =>


hay -

D



=
=>
= 0 => Nghiệm kép: z1 = z2 =
( = z)
=> 9z2 – 6Dz + 3D2 - 4 = 0 =>
= 0 => x = y =
=

Vậy: Dmin = -
<=> x = y = z =
=

Dmax =
<=> x = y = z =
=