Đề thi thử vào 10 chuyên toán - Phạm Công Thành - Quảng Ngãi

Câu 1: (1 điểm)
Tính:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
và
.
Tính giá trị biểu thức:
.
Câu 2: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:

Giải phương trình:

Câu 3: (1,5 điểm)
Ta gọi p, q là hai số nguyên tố liên tiếp nếu giữa p và q không có số nguyên tố nào khác.
Tìm ba số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho
là số nguyên tố.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Câu 4: (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:


Câu 5: (3 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định, C là một điểm cố định nằm giữa A và O, M di động trên đường tròn (O;R).
Tìm vị trí của M trên (O;R) tương ứng lúc độ dài của CM lớn nhất, nhỏ nhất.
Gọi N là một điểm trên đường tròn (O;R) sao cho góc MCN vuông, K là trung điểm của MN. Chứng minh rằng M khi di động ta có KO2 + KC2 không đổi.
Chứng minh rằng khi M di động trên đường tròn (O;R) thì K di động trên một đường tròn cố định tâm I trung điểm của CO.
Câu 6: (1 điểm) Cho 997 điểm khác nhau nằm trên một mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1991 trung điểm khác nhau từ các cặp cạnh này. Khi nào thì có đúng 1991 trung điểm khác nhau?