De thi Olimpic toan 11 tham khao

Sở GD&ĐT Bắc Giang
Kỳ thi olympic trường thpt tứ sơn lần I

Trường THPT Tứ Sơn
*************
Môn:Toán 11
Năm học 2007-2008
( Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề )


Đề bài
Câu 1: ( 1 điểm )
Cho dãy số
Chứng minh rằng dãy số {un }là dãy số tăng và bị chặn trên.
Tìm
Câu 2: ( 1 điểm )
Với mọi nN* , chứng minh rằng: Un=
Câu 3: ( 2 điểm )
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a. Các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện đồng quy tại một điểm ( gọi là trọng tâm của tứ diện )
b.Bốn đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại trọng tâm của tứ diện.
Câu 4: ( 1 điểm )
Giải phương trình:
Câu 5: ( 2 điểm )
a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau.
b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
Câu 6: ( 1 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

Câu 7: ( 1 điểm )
Tìm
Câu 8: ( 1 điểm )
Chứng minh rằng:

-Hết-






Họ và tên thí sinh…………………………………Lớp
Đáp án

Nội dung
Điểm

Câu 1:
* Chứng minh qui nạp theo n un bị chặn trên bởi 2
* Xét un+1-un un
0
suy ra un+1>un vậy dãy số un tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có giới hạn là a.
*Từ công thức ta có a=2



0,5
0,25




0.25

Câu 2:
*Ta chứng minh: un+2=un+1+ un
*Qui nạp theo n

0,5
0,5

Câu 3:












a. Dễ cm
b* Gọi G là trọng tâm của tứ diện và G1 là trọng tâm của tam giác BCD.
Ta có suy ra
Vậy A,G,G1 thẳng hàng
* Tương tự các đoạn thẳng nối các đỉnh với trọng tâm các mặt đối diện cũng đi qua G.















1
0,5



0,5




Câu 4:


kết luận nghiệm.







1

Câu 5:
a. 9
b. Mỗi số lập được là 1 tổ hợp chập 6 của 9 chữ số từ 1 đến 9 vậy số các chữ số lập được là

1

1

Câu 6:
Maxy = 1; Min y = -1/3.

1

Câu 7:
suy ra ĐS: 1/2


1

Câu 8:
Đặt


Ta có:
a-cpcm)




1




-Hết-