De thi olimpic toan 10

SỞ GD & ĐT BÌNH DƯƠNG ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN – LƯƠNG THẾ VINH
TRƯỜNG THPT TRỊNH HOÀI ĐỨC LỚP: 10 – THỜI GIAN: 180 PHÚT


Câu 1: (2đ)
Cho A,B,C là ba tập hợp bất kì.
Chứng minh:


Câu 2: (2đ)
Giải phương trình :


Câu 3: (3đ)
a) Cho a,b,c là ba số dương thỏa ab+bc+ca=4abc.
Chứng minh:

b) Giải bất phương trình:


Câu 4: (3đ)
Cho
vuông tại A có BC=a , chiều cao AH=h.Chia cạnh BC ra làm n phần bằng nhau (n là số tự nhiên lẻ).Gọi MN là một trong các đoạn bằng nhau ấy và chứa trung điểm I của BC.đặt góc MAN =α.
Chứng minh rằng:



-----------Hết------------
ĐÁP ÁN
Câu 1: (2đ)
*
---------------------------------------0.25đ

---------------------------------------0.25đ

---------------------------------------0.25đ



---------------------------------------0.25đ
*

---------------------------------------0.25đ

---------------------------------------0.25đ

---------------------------------------0.25đ



---------------------------------------0.25đ
Câu 2: (2đ)
a)

Đặt

Ta có
---------------------------------------0.25đ
Khi đó ta có hệ pt:
---------------------------------------0.25đ
(1)
(2), ta có:






---------------------------------------0.25đ


(1) trở thành


---------------------------------------0.25đ

---------------------------------------0.25đ


(1) trở thành




---------------------------------------0.25đ

---------------------------------------0.25đ
Câu 3: (3đ)
a) Ta có ab+bc+ca=4abc
---------------------------------------0.25đ
Mặt khác với mọi x,y>0 ta có:





(do x>0,y>0)

(*) ---------------------------0.25đ
Dấu “ = ” của BĐT (*) xảy ra

Áp dụng bđt (*) ta có:

(1)-------------------0.25đ

(2)

(3) ------------------0.25đ
Cộng vế (1),(2),(3) ta có:



(**)-----------------------------------0.25đ
Dấu “ = ” của BĐT (**) xảy ra
--------------------------------------0.25đ
b)

TH1: x>


---------------------------------------0.25đ



---------------------------------------0.25đ




So với đk:
---------------------------------------0.25đ
TH2: x<


---------------------------------------0.25đ

(do 2x-1<0)

---------------------------------------0.25đ
So với đk bpt vô nghiệm.
Vậy bpt có nghiệm :
---------------------------------------0.25đ
Câu 4:
Ta có
---------------------------------------0.25đ

---------------------------------------0.25đ
Và ta có
---------------------------------------0.25đ

(1) ---------------------------------------0.25đ
Mà
---------------------------------------0.25đ

---------------------------------------0.25đ
Từ (1) và (2)
=
(3) -----------------0.25đ
Vì I là trung điểm BC và ABC vuông tại A nên :

---------------------------------------0.25đ
và

(4) ---------------------------------------0.25đ
Mà
(5) ---------------------------------------0.25đ
Thế (4),(5) vào (3) ta được:
-----------------------------------0.25đ


-------------------------------0.25đ