Đề thi HSG Vinh Phuc 2013-2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014


ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi 25/10/2013


Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình
.
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số
(1), m là tham số thực.
a) Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, trong đó
.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực


a) Giải hệ khi
.
b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp
có
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là trung điểm của
và
là trung điểm của
Biết
,
; góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính theo
thể tích khối chóp
và tính cosin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho hình thang ABCD vuông tại A và D;
. Đường thẳng BD có phương trình
, đường thẳng AC đi qua điểm
. Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực
thỏa mãn
và
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
………. Hết……….
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………….SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014


Môn: TOÁN THPT


HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 05 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu 1. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm

Phương trình tương đương:
.
0,5


.
0,5


.
0,5



Vậy phương trình có nghiệm là
hoặc
.
0,5



Câu 2. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm

a) (1,0 điểm).

Phương trình hoành độ giao điểm:
.
0,25



0,25

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0,25


. Vậy các giá trị cần tìm của m là
hoặc
.
0,25

b) (1,0 điểm).

Ta có
;
hoặc
.
Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
(*)
0,25

Các điểm cực trị của đồ thị là
.
0,25

Suy ra
;
.
Do đó
;
.
0,25

Đặt
ta được

Do đó
(thỏa mãn điều kiện (*)). Vậy
.
0,25


Câu 3. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm

a) (1,0 điểm).

Với m=2 ta có hệ



0,25

Đặt
, ta có hệ:
.
0,25

Giải hệ
ta được
. Suy ra
.
0,25

Giải hệ ta được
. Vậy hệ có hai nghiệm
.
Chú ý: HS có thể làm theo phương pháp thế.
0,25

b) (1,0 điểm).

Hệ tương đương

Đặt
, ta có hệ:

0,25



Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn
.
0,25

Xét hàm số
. Ta có
.