Đề thi HSG TP Hà Nội (1995 - 2007)

SỞ GD-ĐT HÀ NỘI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1995-1996



Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:23-12-1995
Thời gian làm bài:180 phút


Bài I
Xét đường cong:

(C)
Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành là 2000 đơn vị.

Bài II
Với những giá trị nào của m thì trong khoảng
ta luôn có:



Bài III
Cho hai dãy số
và
trong đó với mọi i = 1, 2, 3… ta luôn có:

và

Chứng minh rằng: có ít nhất một giá trị của
sao cho dãy
có giới hạn khác 0.

Bài IV
Cho hình Elíp
với tâm O và các tiêu điểm
. Qua O,
vẽ các đường song song MOM`, MF1N`. Tính tỉ số:




http://kinhhoa.violet.vn


SỞ GD-ĐT HÀ NỘI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1996-1997



Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:21-12-1996
Thời gian làm bài:180 phút


Bài I
Cho dãy
xác định bởi điều kiện:
x1 = a ;
; ( n = 1; 2; 3…)
Tìm giá trị của a sao cho: x1996 = x1997

Bài II
Hàm số f(x) được xác định bằng hệ thức:


Chứng minh rằng:


Bài III
Cho phương trình:


Hãy xác định giá trị của m sao cho với mọi giá trị của
thì phương trình có nghiệm.

Bài IV
Trên mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, cho các điểm A(-1; 0); B(2; 0);
H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ đường thẳng
vuông góc với AB tại H và đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.
Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với
và tiếp xúc trong với (C) sao cho điểm M nằm ở bên ngoài đường tròn (I).












SỞ GD-ĐT HÀ NỘI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1997-1998



Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:25-12-1997
Thời gian làm bài:180 phút


Câu 1 (5 điểm):
Cho hàm số

1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

2. Tính tổng


Câu 2 (5 điểm):
Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:



Câu 3 (5 điểm):
Cho

Chứng minh rằng:



Câu 4 (5 điểm):
Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đường thẳng (d) có phương trình:

1. Tìm điểm M(a; b) với
sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và độ dài đoạn OM ngắn nhất.
2. Cho đường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy.
Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).







SỞ GD-ĐT HÀ NỘI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1998-1999



Môn thi: Toán 12
Ngày thi:9-12-1998
Thời gian làm bài:180 phút



Câu 1 (5 điểm):
Cho họ đường cong (Cm):
( m là tham số)
Đường thẳng (d): y=3-x cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm thứ hai là M và N. Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi.

Câu 2 (5 điểm):
Giải hệ phương trình:



Câu 3 (5 điểm):
Chứng minh bất đẳng thức:


Với
làm vế trái có nghĩa.
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng và mạnh hơn không?

Câu 4 (5 điểm):
Cho 2 đường tròn thay đổi (C) và (C`) luôn tiếp xúc với một