De_Thi_HSG_(Toan)Thua_Thien_Hue_-2009

SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 THPT - NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút
Đề thi gồm 02 trang
Bài 1: (3 điểm)
Cho phương trình
Với
, tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng
.
Với giá trị nào của
thì phương trình (1) có 2 nghiệm trên khoảng
.
Bài 2: (3 điểm)
Cho điểm A cố định trên đường tròn và điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình thoi ABCD (hướng quay của tia AB đến AC và AD theo chiều dương lượng giác) sao cho góc
.
Xác định phép đồng dạng biến điểm C thành điểm B.
Tìm quỹ tích của các điểm B và D. Xác định các quỹ tích đó.
Bài 3: (3 điểm)
Giải hệ phương trình

Giải bất phương trình:

Bài 4: (2 điểm)
Cho dãy số
với mọi số nguyên dương
.
Chứng tỏ rằng các tử số của các số hạng liên tiếp của
lập thành một cấp số cộng.
Hãy biến đổi mỗi số hạng của
thành một hiệu liên quan đến 2 số hạng kế tiếp của nó, từ đó rút gọn
và tính

Bài 5: (3 điểm)
Tính tổng các số chẵn có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4.
Tìm hệ số của số hạng không chứa
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là



Bài 6: (3 điểm)
Cho cốc nước (hình vẽ) phần trên là hình nón đỉnh S, đáy có tâm O bán kính R, chiều cao SO = h. Trong cốc nước đã chứa một lượng nước có chiều cao a so với đính S. Người ta bỏ vào cốc nước một viên bi hình cầu thì nước dâng lên vừa phủ kín quả cầu. Hãy tính bán kính của viên bi theo R và h.



Bài 7: (3 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng
.
Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và các cạnh bên của hình chóp.
Mặt phẳng (P) tạo bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện và chia hình chóp đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Hết
 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2008-2009
Môn : TOÁN
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

Bài 1
 NỘI DUNG
ĐIỂM

(3đ)
 Giải phương trình:



a)
(1,5)
Đặt
,
,

Phương trình (a) trỏ thành:




(*)

(loại) hay

Ta có:

Do đó phương trình (*) chỉ có một nghiệm

Suy ra phương trình (a) tương đương

Theo giả thiết:
, nên phương trình (a) chỉ có một nghiệm duy nhất



0,5







0,5









0,5



(2)
Nhận xét: phương trình
chỉ có một nghiệm duy nhất trong khoảng
là

Do đó để (1) có 2 nghiệm trong khoảng
thì phương trình (2) có 2 nghiệm.
Xét hàm số
.


Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trình (2) có hai nghiệm khi và chỉ khi:

:
t
-1 1


g`(t) + + +







g(t)















0,5





0,5





0,5

Bài 2



(3đ)





a)
(1,0)



Ta có:
(không đổi).
Nếu đặt
thì
(không đổi).
Do đó: Qua phép quay tâm A, góc
: điểm C biến thành điểm M và
nên M biến thành B qua phép vị tự tâm A tỉ số
.
Vậy: B là ảnh của C qua