đề thi hsg toán lớp 7 huyện hoằng hóa

đề thi HSG toán 7 – huyện hoằng hoá
Năm học: 2012-2013
Câu 1(4,5 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức :

b/ Tìm x biết :

c/ Tìm x, y biết rằng :

Câu 2 (4,5 điểm)
a/ Tìm đa thức M biết rằng :

b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

c/ Tìm x, y, z biết :
và x – y + z = 49
Câu 3 (5,0 điểm)
a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức :

c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương.
Câu 4 (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A : (ABD, (ACE sao cho AB = AD, AE = AC. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH.
a/ Chứng minh DM = AH
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 3:4:5. Tính số đo góc AMB.
Hết







Đáp án Toán 7
Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1
4,5
a/



1,5


b/
.
Vậy : x = 3,5 ; x = -0,5
1,5


c/

Ta có :

Mà
=>

=>
. Vậy

1,5

Câu 2
4,5
a/

=>

1,5


b/

B lớn nhất khi
nhỏ nhất.
Ta có
=>
nhỏ nhất bằng 2, khi x = y = 0
Khi đó B lớn nhất =

1,5


c/
=>
=>

=> x = -70 ; y = -105 ; z = -84
1,5

Câu 3
5,0
a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết:
(1)
Từ

Mặt khác :

=>
.
Vậy :

2,0


b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức :

Sử dụng :
. Dấu “=” xảy ra khi A,B cùng dấu. (*)
Ta có :

Vậy M (min) = 1 khi ( 2012 - x)(x – 2013) ≥ 0 => 2012 ≤ x ≤ 2013
1,5


Nhận xét :
Nếu số chính phương chia hết cho a ( là số nguyên tố) thì nó chia hết cho a2
Giả sử A = n2 + 2002 là số chỉnh phương.
- Xét trường hợp 1 : n là số chẵn => n = 2k
=> n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002
Ta có : 4k2 chia hết cho 2 , 2002 chia hết cho 2 => A chia hết cho 2 => A chia hết cho 4.
Do 4k2 chia hết cho 4, còn 2002 không chia hết cho 4 => A không chia hết cho 4(loại)
- Xét trường hợp 2 : n là số lẻ => n = 2k +1
=> A là số chính phương lẻ, có dạng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + 1 chia cho 4 dư 1.
Mà : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 dư 3 ( loại)
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương
1,5

Câu 4
4,0
Hình vẽ


a/ Chứng minh DM = AH
Xét (MAD và (HBA có

(gt) (1)
AD = AB (gt) (2)