Đề thi HSG toán của nhiều tỉnh TQ

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THỪA THIÊN HUẾ (VÒNG I _ 30/11/2006) Bài 1 :(5 điểm) Với các tham số thực m , p (m ≠ 0), xét các đồ thị : (H
) :
và (
) : y =
- (2p - 1)x a/Tìm điêù kiện cuả m và p để các đồ thị (
) và (
) tiếp xúc nhau . b/Chứng tỏ rằng khi các đồ thị (
) và (
) tiếp xúc nhau thì tiếp điểm cuả chúng nằm trên đồ thị : y = x -
Bài 2 :(3 điểm) Chứng minh rằng tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 45 khi và chỉ khi : 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 Bài 3:(6 điểm) Trên mặt phẳng , xét một hình vuông ABCD và một tam giác đêù EFG cắt nhau taọ thành một thất giác lồi MBNPQRS . Trong đó Q,P
CD ; R , S
AD ; M
AB ; N
BC . a/Chứng minh rằng : " Nêú SM = NP = QR thì MB = PQ và BN = RS " b/Chứng minh rằng : " Nêú MB = PQ và BN = RS thì SM = NP = QR " Bài 4 :(6 điểm) Xét các số thực thay đổi x , y thoả điêù kiện :
. a/Tìm giá trị lớn nhất cuả T =
y - x
. b/Tìm tất cả các cặp (x ; y) để T đạt giá trị nhỏ nhất . Chú thích : Thời gian làm bài là 150 phút

VÒNG II (1/12/2006) Bài 1 : (3 điểm) Giải hệ phương trình :
Bài 2 : (6 điểm) Cho lăng trụ tứ giác (L) tùy ý . Giả sử rằng bên trong (L) có một hình câù (S) bán kính R tiếp xúc với tất cả các mặt cuả (L) . a/Gọi
là diện tích một mặt đáy cuả (L) ,
là tổng các diện tích cuả mặt bên (L) . Chứng tỏ rằng :
. b/Chứng minh rằng tổng tất cả diện tích các mặt cuả (L) lớn hơn họăc bằng 24
. Bài 3 : (5 điểm) Cho dãy số (
) xác định bởi :
và với n
3 ;
a/Tìm n để |
- 2007| có giá trị nhỏ nhất . b/Tìm số dư khi chia
cho 2006 . Bài 4 : (6 điểm) Xét phương trình hàm : f(xy) - f(x).f(y) = 3[f(x + y) - 2xy - 1] với mọi số thực x , y . a/Tìm hàm số chẵn thoả mãn phương trình hàm trên . b/Tìm tất cả các hàm số thoả mãn phương trình hàm trên .

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI QG 2006_2007 TRƯỜNG ĐHKH HUẾ _ KHOÁ NGÀY : 6.1.2007 Câu I .Chứng minh rằng vói mọi số nguyên dương n và với mọi cặp a,b các chữ số khác 0, với a chẵn b lẻ, luôn tồn tại một số tự nhiên
có đúng n chữ số sao cho
là bội số cuả
và
chỉ gồm toàn các chữ số a,b . Áp dụng , tính
khi
và
. Câu II. Cho đa thức
bậc
thoả mãn điêù kiện
Xác định giá trị
Câu III. Tính tổng Câu IV. Cho tam giác ABC vuông tại C . Trên các cạnh AC lấy điểm P , cạnh AB lấy điểm Q , R , cạnh BC lấy điểm S sao cho tứ giác PQRS là hình vuông. Chứng minh rằng AB
3QR , khi naò dâú đẳng thức xãy ra? Câu V. Trên các cạnh cuả tam giác ABC lấy U,R thuộc AB; Q,T thuộc BC; S,P thuộc CA sao cho các đoạn PQ, RS, TU tương ứng song song với AB,BC,CA và các đoạn này giao nhau tại X,Y,Z. Hãy xác định diện tích tam giác ABC nêú mỗi một trong các đoạn PQ,RS và TU chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau và nêú diện tích tam giác XYZ bằng 1 . Câu VI. Cho hình vuông có cạnh bằng một đơn vị,tìm số lớn nhất các điểm có thể đặt vaò hình vuông(kể cả trên các cạnh) sao cho không có bất cứ hai điểm naò trong số các điểm đó có khoảng cách bé hơn
đơn vị .

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LÂM ĐỒNG - Ngày thứ nhất 15/12/2006
Bài 1 Cho
, chứng minh rằng :
Bài 2 Giải pt
Bài 3 Giải hệ
Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;