DE THI HSG TINH THANH HOA 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2014-2015
Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
Ngày thi 24/03/2015.
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.


Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số:
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Cho điểm A(0; a). Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới
đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Câu II (4,0 điểm)
1. Giải phương trình:

2. Giải hệ phương trình:

Câu III (4,0 điểm)
1. Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng :


2. Tìm m để hệ
có nghiệm thực.
Câu IV (4,0 điểm)
1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ
số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là
số lẻ?
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm
là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của
ADH là :
. Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu V (4,0 điểm)
1. Cho tứ diện
có
và
. Gọi
,
theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và thể tích của tứ diện
. Tính diện tích tam giác ABC theo
và chứng minh rằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm
và mặt phẳng (P) có phương trình:
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm
và tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất.
………………………………..HẾT……………………………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT THANH HÓA


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: TOÁN
LỚP 12 THPT
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang )


Câu
Ý
Nội dung
Điểm

I.
(4.0)
1.
(2.0)

 Khảo sát và vẽ đồ thị
của hàm số






* Tập xác định: D



0.25



 * Sự biến thiên:


,
,
,
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y =1 .

0.25

0.25

0.25



 Bảng biến thiên



1 +(

- (
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng




0.5



* Đồ thị :


Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-2), cắt trục hoành tại (-2;0).
Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 1) làm tâm đối xứng.










0.5




2.
(2.0)
Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp
điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.




Xét thấy đường thẳng x = 0 đi qua A và không tiếp xúc với đồ thị (C)
Phương trình đường thẳng d đi qua
và có hệ số góc k:

d là tiếp tuyến của (C) ( Hệ PT
có nghiệm

0,25

0.25



 ( PT: f(x) =
(1) có nghiệm
.
Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt
khác 1
(


0.25


0.25



Khi đó ta có:
và

Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì

(
(


0.25



0,25