Đề thi HSG tỉnh môn Toán lớp 9 năm học 2017-2018

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2017 – 2018

Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)



Câu 1 (3 điểm).
a.Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố và căn bậc hai của số cần tìm có tổng các chữ số là một số chính phương.
b. Chứng minh rằng số
là hợp số với mọi số tự nhiên n.
Câu 2 (7 điểm).
Giải hệ phương trình:

Giải phương trình:

Câu 3 (2 điểm).
Cho
là các số thực dương thoả mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 4 (6 điểm).
Cho AB là mộtđường kínhcốđịnhcủađường tròn (O). Qua điểm A vẽđường thẳng d vuông góc với AB. Từ mộtđiểm E bất kì trên đường thẳng d vẽ tiếp tuyến vớiđường tròn (O) (C là tiếpđiểm, C khác A). Vẽđường tròn (K) đi qua C và tiếp xúcvớiđường thẳng d tại E, vẽđường kính EF củađường tròn (K). Gọi M là trung điểm của OE. Chứng minh rằng:
a. Điểm M thuộc đường tròn (K).
b.Đường thẳng đi qua F và vuông góc với BE luôn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trên đường thẳng d.
Câu 5 (2 điểm).
Ở miền trong đa giác lồi 2018 cạnh có diện tích bằng 1 lấy 2017điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 4035điểm trên (bao gồm 2018đỉnh củađa giác và 2017điểm trong đa giácđó) có diện tích không vượt quá



……………Hết……………
Họ và tên thí sinh…………………………………… Số báo danh……………………