Đề thi HSG Huế 07-08

SÅÍ GIAÏO DUÛC- ÂAÌO TAÛO ÂÃÖ THI HOÜC SINH GIOÍI BÁÛC PTTH
THÆÌA THIÃN HUÃÚ Nàm hoüc 2007-2008
Män : TOAÏN
(150 phuït khäng kãø thåìi gian giao âãö)

Baìi 1 (2âiãøm) Tam giaïc ABC coï âàûc âiãøm gç nãúu



Baìi 2 (1,5âiãøm) Tçm mäüt haìm âa thæïc f(x), thoaí maîn:
f (2x) = f ‘(x).f “(x)

Baìi 3 (2âiãøm) Ba säú thæûc x, y, z âäi mäüt khaïc nhau thoaí maîn âiãöu kiãûn :


Chæïng minh:


Baìi 4 (2,5âiãøm) Cho hçnh choïp S.ABCD coï âaïy ABCD laì mäüt hçnh bçnh haình. Tæì mäüt âiãøm M di âäüng trãn caûnh SA dæûng âæåìng thàóng song songvåïi AD càõt SD taûi N. Trãn CD láúy âiãøm Q sao cho
.Tçm vë trê cuía M trãn SA âãø tam giaïc MNQ coï diãûn têch låïn nháút.

Baìi 5 (2âiãøm) Trong mäüt maûng liãn laûc coï 66 traûm. Mäùi traûm âãöu liãn laûc træûc tiãúp âãún moüi traûm khaïc. Giæîa hai traûm chè duìng mäüt trong 4 phæång tiãûn: âiãûn thoaûi, fax, email vaì vä tuyãún âiãûn âaìm âãø liãn laûc våïi nhau.
Chæïng minh ràòng coï êt nháút ba traûm liãn laûc våïi nhau bàòng cuìng mäüt phæång tiãûn.


Huãú 10/11/2007
Giaïo viãn
Tráön Cäng Syî

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM. MÔN TOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH


Bài
Nội dung
Điểm

I

2.0


I.

* Ta có (1)

(3)
Mặt khác, theo định lý hàm số cos
(4)
So sánh (3) và (4) có 2bc = b2 + c2
(b - c)2 = 0
b = c (5)
* (2)
5sinA-sinB - 12 (sinA - sinB) - 1 = 0 (6)
Đặt t = sinA - sinB, -1 < t < 2. Xét hàm số
(t) = 5t -12t - 1.

(t) =
ln5-12;
(t) = 0

to= log
12 - log
ln12
Bảng biến thiên của
xét trên khoảng (-1; 2)
t

1
2


(t)

0



f(t)


 Bảng biến thiên cho thấy
có không qúa 2 nghiệm trên
.
Lại có
=
suy ra trên miền -1 < t < 2,
(t) có 1 nghiệm
duy nhất t = 0

sinA = sinB
A = B (do 0 < A, B <
) (7)
Từ (5), (7) suy ra A = B = C

ABC đều.



0,5


0,5






0,5




0,5

II.

1,5


Gọi n là bậc của đa thức f(x) thì: n = (n-1) + (n-2), nên n = 3
Ta có f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)
Theo đẳng thức f(2x) = f`(x) f``(x), ta được:
8ax3 + 4 bx2 + 2cx + d = (3ax2 + 2bx + c) (6ax + 2b)
8ax3 + 4bx2 + 2cx + d = 18a3x3 + 18abx2 + (4b2 + 6ac) x + 2bc
Cân bằng hệ số: suy ra:
. Vậy hàm phải tìm:


0,5

0,5

0,5


III.

2,0


Để ý rằng: Nếu a + b + c = 0 thì a2 + b2 + c2 = abc
Đặt
ta có:











0,5


0,5


0,5

0,5


IV.

2,5





















Do MN/AD nên

Mà

Suy ra:






(Vì BC/MN và SC/NQ)
Suy ra: S(MNQ) lớn nhất
( MN.NQ lớn nhất (
lớn nhất Nhưng

Do đó: S(MNQ) lớn nhất ( S(MNQ) =

(

( M là trung điểm SA



0,5



0